Einrichten von Teil Fraktionen Wenn Sie Quadratic Faktoren Wiederholte

Ihr erster Schritt in jedes Problem, das Partialbrüchen beinhaltet ist zu erkennen, welche Fall, dass Sie es zu tun haben, so dass Sie das Problem lösen können. Ein Fall, in dem Sie Partialbrüchen ist mit wiederholten quadratischen Faktoren verwenden können.

Dies ist dein schlimmster Alptraum, wenn es um Partialbrüchen kommt, weil der Nenner wiederholtem quadratische Faktoren umfasst.

Für jeden quadrierten quadratischen Faktor in dem Nenner, fügen zwei Teilfraktionen in der folgenden Form:

Für jede quadratische Faktor in dem Nenner, der zu der dritten Potenz erhoben ist, fügen drei Teilfraktionen in der folgenden Form:

Allgemein gesprochen, wenn eine quadratische Faktor, der angehoben wird, nte Potenz, fügen n Teilfraktionen. Beispielsweise:

Dieser Nenner hat einen linearen Faktor nicht wiederholenden (x - 8), einen quadratischen Faktor nicht wiederholenden (x² + x + 1) und eine quadratische Ausdruck, ist im Quadrat (x² + 3). Hier ist, wie Sie die Partialbrüchen einrichten:

In diesem Beispiel wird eine Teilfraktion für jeden der Faktoren und zwei nicht wiederholenden Teilfraktionen für den squared Faktor.

Wenn Sie mit einem quadratischen Faktor der Form beginnen (Axt² + C), Ergeben sich die folgenden beiden Integrale Teilfraktionen unter Verwendung:

Integrieren Sie die erste durch die Variablensubstitution mit u = Axt² + C damit du = 2Axtdx und

Diese Substitution führt zu folgendem Integral:

Hier sind einige Beispiele:

Um das zweite Integral auszuwerten, verwenden Sie die folgende Formel:

Die meisten Mathematiklehrer haben mindestens einen Fetzen der Barmherzigkeit in ihren Herzen, so neigen sie nicht Probleme zu geben, die diese schwierigste Fall umfassen. Wenn Sie mit einem quadratischen Faktor der Form beginnen (Axt² + bx + C), Ergibt sich folgende Integral Partialbrüchen mit:

Okay, das ist viel zu viele Buchstaben und nicht annähernd genug Zahlen. Hier ein Beispiel:

Es geht um die haarigste Integral Sie jemals am Ende einer Teilfraktion gehen zu sehen. Um zu bewerten es, möchten Sie die Variablensubstitution zu verwenden u = x² + 6x + 13, so daß du = (2x + 6) dx. Wenn der Zähler waren 2x + 6, würden Sie in der großen Form sein. So müssen Sie den Zähler ein wenig zu zwicken. Zuerst multiplizieren sie mit 2 und teilen das ganze Integral von 2:

Da Sie das gesamte Integral mit 1 multipliziert, hat keine Netto-Änderung aufgetreten ist. Nun fügen Sie 6 und -6 bis Zähler:

Dieses Mal, fügen Sie 0 an das Integral, das seinen Wert nicht ändert. An dieser Stelle können Sie das Integral in zwei Teile geteilt:

An dieser Stelle können Sie die Variablensubstitution verwenden, um die erste Integral wie folgt zu ändern:

Um das zweite Integral, füllen den Platz im Nenner lösen: Teilen Sie die b Ausdruck (6) durch 2 und Quadrat, und dann die darstellen C Ausdruck (13) als die Summe aus diesem und was übrig bleibt:

Nun teilen den Nenner in zwei Felder:

Um dieses Integral auszuwerten, verwenden die gleiche Formel, die aus dem vorherigen Abschnitt:

Also hier ist die endgültige Antwort für das zweite Integral:

Daher Stück zusammen die vollständige Antwort wie folgt: