Wie man Factor Trigonometrie Ausdrücke mit Grad höher als 2

Obwohl Factoring quadratics ist ein Kinderspiel, Factoring Trigonometrie Gleichungen mit höheren Graden kann ein bisschen böse, wenn man wie nur zwei Bedingungen nicht eine schöne Situation haben oder eine quadratische artige Gleichung. Im Folgenden finden Sie zwei solche Probleme: 2sin³ x = sin x und 2cos⁴ x - 9cos² x + 4 = 0.

Die erste Gleichung hat nur zwei Begriffe, so können Sie es Faktor durch einen größten gemeinsamen Faktor zu finden. Lösen Sie 2sin³ x = sin x für alle möglichen Winkel in Grad.

1. Bewegen Sie den Term auf der rechten Seite nach links, indem es von jeder Seite subtrahiert wird.

   2sin³ x - Sünde x = 0

2. Factor aus sin x.

   Sünde x (2sin² x - 1 = 0)

3. Stellen Sie jeden Faktor, der gleich 0.

   Sünde x = 0 oder 2sin² x - 1 = 0

4. Lösen der beiden Gleichungen für die Werte von x dass erfüllen sie.

   Wenn die Sünde x = 0, dann x = sin^-1(0) = 0 °, 180 °. . . oder 0 ° + 180 °n.

   Wenn 2sin² x - 1 = 0, 2sin² x = 1, sin² x = 1/2, dann am Ende mit einer quadratischen Gleichung auf.

5. Nehmen Sie die Quadratwurzel von beiden Seiten der quadratischen Gleichung und lösen für x.

   Multiplizieren beide Teile der Fraktion durch den Nenner aus dem Nenner für den Rest zu erhalten.

   

   Nun, wenn man bedenkt, beide Lösungen:

   

Diese vierten Grades trig Gleichung hat eine ganze Reihe von Antworten:

x = 180 °n

x = 45 ° + 360 °n

x = 135 ° + 360 °n

x = 225 ° + 360 °n

x = 315 ° + 360 °n

Sie können diese letzten vier Gleichungen kombinieren für x, diejenigen, die mit Vielfachen von 45 Grad beginnen, zu lesen, x = 45 ° + 90 °n. Diese Gleichung erzeugt alle die gleichen Winkel wie die letzten vier Aussagen kombiniert. Wie wissen Sie, Sie auf diese Weise vereinfachen können? Weil die Winkel von 45, 135, 225 und 315 Grad sind, alle 90 Grad voneinander in Wert. Mit dem Start mit der 45 und Zugabe von 90 immer und immer wieder, erhalten Sie die alle eingetragenen Winkel sowie die unendliche Zahl ihrer Multiples.

Das nächste Beispiel ist auch ein vierter Grad Gleichung, aber dieses ist quadratisch-like, was bedeutet, dass es wie eine quadratische Trinom in zwei binomischen Faktoren Faktoren. Dieses Problem hat die Möglichkeit, eine große Anzahl von Lösungen mit - oder keine. Lösen Sie 2cos⁴ x - 9cos² x + 4 = 0 für die Lösungen, die zwischen 0 und 2Pi-.

1. Faktor, der die trinomial als das Produkt von zwei Binomen.

   (2cos² x - 1) (cos² x - 4) = 0

2. Stellen Sie jeden Faktor, der gleich 0.

   2cos² x - 1 = 0 oder cos² x - 4 = 0

3. Lösen für die Funktion in jeder Gleichung durch die Bedingungen mit Cosinus immer in sie allein auf einer Seite der Gleichung.

   

4. Nehmen Sie die Quadratwurzel von jeder Seite der Gleichung.

   

5. Lösen für die Werte von x dass die Gleichungen erfüllen.

   

   Wenn cos x = ± 2, dann haben Sie ein Problem - dass Gleichung berechnen nicht! Die Cosinus-Funktion ergibt sich nur in Werte zwischen -1 und 1. Dieser Faktor geben keine neuen Lösungen für das ursprüngliche Problem.