Der Differenzenquotient: Die Brücke zwischen Algebra (Steigung) und Calculus (das Differential)

Einer der Eckpfeiler der Infinitesimalrechnung ist der Unterschied Quotient. Der Unterschied Quotient - zusammen mit Grenzen - ermöglicht es Ihnen, die regelmäßige alte Steilheit Formel zu nehmen, die Sie verwendet, um die Steigung der Linien in der Algebra-Klasse zu berechnen und für die Kalkül Aufgabe verwenden, um die Steigung der Berechnung (oder Derivat) einer Kurve. So funktioniert das.

Im folgenden Beispiel möchten Sie auf der Parabel die Steigung an einem Punkt zu finden.

Um die Steigung zu berechnen, müssen Sie zwei Punkte in dieser Formel zu stopfen. Für eine Linie ist, so einfach. Wählen Sie einfach zwei beliebige Punkte auf der Linie, und stecken Sie sie in.

Sie können die Linie gezogen Tangente an die Kurve bei (2, 4) zu sehen, und weil die Steigung der Tangente die gleiche wie die Steigung der Parabel ist (2, 4), alles, was Sie brauchen, ist die Steigung der Tangente Linie. Aber Sie wissen nicht, die Gleichung der Tangente, so kann man nicht den zweiten Punkt zu bekommen - zusätzlich zu (2, 4) -, dass Sie für die Steigung Formel benötigen.

Hier ist, wie die Erfinder der Infinitesimalrechnung, um dieses Hindernis bekam.

Die obige Abbildung ist der Graph y = x² mit einer Tangente und einer Sekante. Es zeigt die Tangente wieder und eine Sekantenlinie die Parabel an (2, 4) schneidende und bei (10, 100).

EIN Sekantenlinie ist eine Linie, eine Kurve in zwei Punkten schneidet. Das ist etwas sehr stark vereinfacht, aber es wird zu tun.

Die Steigung dieser Sekante wird durch die Steigung Formel gegeben:

Sie können sehen, dass diese Sekantenlinie ziemlich viel steiler als die Tangente ist, und somit die Steigung der Sekante, 12, ist höher als die Neigung, die Sie suchen.

Jetzt noch einen Punkt bei (6, 36) hinzufügen und eine andere secant zeichnen diesen Punkt mit und (2, 4) wieder. Siehe Abbildung oben.

Berechnen Sie die Steigung dieser zweiten secant:

Sie können sehen, dass die Steigung dieser Sekante eine bessere Annäherung an die Neigung der Tangente ist als die Steigung des ersten Sekante war.

Nun stelle man sich, was passieren würde, wenn Sie den Punkt, an (6, 36) packte und schob sie nach unten die Parabel in Richtung (2, 4), die Sekantenlinie zusammen mit ihm ziehen. Können Sie sehen, dass so bekommt der Punkt näher und näher an (2, 4), erhält die Sekante zur Tangente näher und näher, und dass die Steigung so dieser Sekante rückt näher und näher an der Steigung der Tangente?

So können Sie die Steigung der Tangente erhalten, wenn Sie das nehmen Grenze der Steigung dieser bewegenden Sekante.

Also hier ist die Grenze benötigen Sie:

Sehen Sie, was zu dieser Grenze passiert, wenn man in drei weitere Punkte auf der Parabel stecken, die näher und näher an (2, 4):

Wenn der Punkt (2,01, 4,0401) gleitet, ist die Steigung 4.01

Wenn der Punkt (2.001, 4,004001) gleitet, ist die Neigung 4,001

Sicher sieht aus wie die Steigung in Richtung 4 geleitet.

Wie bei allen Grenzaufgaben, die Variable in diesem Problem, der Lauf, Ansätze aber nie bekommt tatsächlich auf Null. Wenn es auf Null bekam - was passieren würde, wenn Sie den Punkt geschoben Sie entlang der Parabel packte, bis sie tatsächlich auf der Spitze war (2, 4) - Sie würden eine Steigung von 0/0 haben, die nicht definiert ist. Aber natürlich, das ist genau die Steigung Sie wollen - die Steigung der Linie, wenn der Punkt landet oben auf (2, 4). Hierin liegt die Schönheit des Grenzprozesses.

Und die Steigung der Tangente ist - Sie ahnen es - die Ableitung.

Das Derivat einer Funktion, f(x), An einem gewissen Anzahl x = c, geschrieben als f '(c), Ist die Steigung der Tangente an f gezeichnet auf c.

Okay, hier ist die häufigste Weg, um den Unterschied Quotient des Schreibens (Sie können auf andere, gleichwertige Arten ausgeführt werden).

Werfen Sie einen Blick auf die folgende Abbildung, die zeigt, wie eine Grenze der Steigung der Tangente erzeugt an (2, 4).

Tun Sie Mathe gibt Ihnen, endlich, die Steigung der Tangente an (2, 4):

So ist die Steigung 4. (By the way, es ist ein bedeutungsloser Zufall, dass die Steigung an (2, 4) geschieht das gleiche wie das zu sein, y-Koordinate des Punktes.)