Berechnen Sie die Steigung einer Funktion der Differenzenquotient Verwendung

Sie können unter Verwendung der Differenz Quotient einer Funktion Steigung berechnen. Der Unterschied Quotient ermöglicht es Ihnen, eine Steigung zu berechnen, wenn Sie zunächst nicht zwei Punkte an der Piste Formel Stecker in.

Um eine Steigung zu berechnen, müssen Sie zwei Punkte in dieser Formel zu stopfen. Für eine Linie ist, so einfach. Wählen Sie einfach zwei beliebige Punkte auf der Linie, und stecken Sie sie in. Aber es ist nicht so einfach, wenn Sie wollen, sagen wir, die Steigung der Parabel f (x) = x² an der Stelle (2, 4). Überprüfen Sie die erste Zahl aus.

Sie können die Linie gezogen Tangente an die Kurve bei (2, 4) zu sehen. Da die Steigung der Tangente die gleiche wie die Steigung der Parabel ist (2, 4), alles, was Sie brauchen, ist die Steigung der Tangente Sie die Steigung der Parabel zu geben. Aber Sie wissen nicht, die Gleichung der Tangente, so kann man nicht den zweiten Punkt zu bekommen - zusätzlich zu (2, 4) -, dass Sie für die Steigung Formel benötigen.

Hier ist, wie die Erfinder der Infinitesimalrechnung, um dieses Hindernis bekam. Die nächste Abbildung zeigt die Tangente wieder und eine Sekantenlinie Schneiden der Parabel bei (2, 4) und bei (10, 100).

Definition von Sekantenlinie: Eine Sekantenlinie ist eine Linie, eine Kurve an zwei Punkten schneidet. Das ist etwas sehr stark vereinfacht, aber es wird zu tun.

Die Steigung dieser Sekante wird durch die Steigung Formel gegeben:

Sie können sehen, dass diese Sekantenlinie steiler ist als die Tangente und damit die Steigung der Sekante, 12, ist höher als die Neigung, die Sie suchen.

Fügen Sie nun einen weiteren Punkt bei (6, 36) und einen weiteren Sekante zeichnen diesen Punkt mit und (2, 4) wieder, wie in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.

Berechnen Sie die Steigung dieser zweiten secant:

Sie können sehen, dass diese Sekantenlinie eine bessere Annäherung der Tangente als die erste Sekante ist.

Nun stelle man sich, was passieren würde, wenn Sie den Punkt, an (6, 36) packte und schob sie nach unten die Parabel in Richtung (2, 4), die Sekantenlinie zusammen mit ihm ziehen. Können Sie sehen, dass so bekommt der Punkt näher und näher an (2, 4), erhält die Sekante zur Tangente näher und näher, und dass die Steigung so dieser Sekante rückt näher und näher an der Steigung der Tangente?

So können Sie die Steigung der Tangente erhalten, wenn Sie das nehmen Grenze der Pisten dieser bewegenden Sekante. Lassen Sie uns den sich bewegenden Punkt die Koordinaten geben (x₂, y₂). Da dieser Punkt (x₂,y₂) Gleitet, näher an (x₁,y₁), Nämlich (2, 4), der Lauf, die gleich x₁- x₁, wird auf Null näher und näher. Also hier ist die Grenze benötigen Sie:

Sehen Sie, was zu dieser Grenze passiert, wenn man in vier weitere Punkte auf der Parabel stecken, die näher und näher an (2, 4):

Wenn der Punkt (x₂,y₂) Folien (3, 9), die Steigung

oder 5.

Wenn der Punkt auf (2.1, 4.41) gleitet, ist die Steigung

oder 4.1.

Wenn der Punkt (2,01, 4,0401) gleitet, ist die Steigung 4.01.

Wenn der Punkt (2.001, 4,004001) gleitet, ist die Neigung 4,001.

Sicher sieht aus wie die Steigung in Richtung 4 geleitet.

Wie bei allen Grenzaufgaben, die Variable in diesem Problem, x₂ Ansätze aber nie tatsächlich bekommt dem Pfeil-Nummer (2 in diesem Fall). Wenn er auf 2 bekam - was passieren würde, wenn Sie den Punkt geschoben Sie entlang der Parabel packte, bis sie tatsächlich auf der Spitze (2, 4) war - würden Sie bekommen

Das ist nicht definiert. Aber natürlich, am Hang (2, 4) ist genau die Steigung Sie wollen - die Steigung der Linie, wenn der Punkt tut Land auf der Oberseite (2, 4). Hierin liegt die Schönheit des Grenzprozesses. Mit dieser Grenze erhalten Sie die genau Steigung der Tangente Linie an (2, 4), obwohl die Grenzfunktion,

erzeugt Pisten Sekante Linien.

Auch hier ist die Gleichung für die Steigung der Tangente:

Und die Steigung der Tangente ist - Sie ahnen es - die Ableitung.

Bedeutung der Derivat: Die Ableitung einer Funktion f(x) Bei einer bestimmten Anzahl x= c, geschrieben als

ist die Steigung der Tangente an f gezeichnet auf c.

Die Steigung Fraktion

mit Algebra Terminologie ausgedrückt. Jetzt können Sie es umschreiben, dass highfalutin Kalkül Look zu geben. Aber zuerst, schließlich Sie die Definition gewartet haben.

Definition der Differenz Quotient: Es gibt eine Phantasie Kalkül Begriff für die allgemeine Neigung Fraktion,

wenn Sie es in der Phantasie Kalkül Weise schreiben. Ein Teil ist ein Quotient, Recht? Und beide y₂ - y₁ und x₂ - x₁ sind Unterschiede, Recht? Also, voil # 224-, es heißt die Differenz Quotient. Hier ist es:

(Dies ist die häufigste Art und Weise den Unterschied Quotient aus zu schreiben. Sie können auf andere, gleichwertige Arten ausgeführt werden.)

Okay, lassen Sie uns diesen Prozess auslegen, wobei

verwandelt sich in den Differenzenquotient.

Erstens, die Lauf, x₂ - x₁ (In diesem Beispiel x₂ - 2) wird aufgerufen h. Als nächstes, da x₁ = 2 und das Lauf gleich h,x₂ gleich 2 + h. Sie dann schreiben y₁ wie f(2) und y₂ wie f(2 + h). Machen alle Substitutionen gibt Ihnen die Ableitung von x² beim x = 2:

Erinnere dich daran

das Schrumpfen ist einfach

Treppenstufe Sie sehen in kann die vorherige fildwie der Punkt nach unten gleitet die Parabel in Richtung (2, 4).

Die nächste Figur ist grundsätzlich die gleiche wie die vorherige, außer daß anstelle von exakten Punkte wie (6, 36) und (10, 100), der Gleitpunkt die allgemeine Koordinaten von (2 + h, f (2 + h)), und das erhebt euch und das Lauf werden in Begriffen ausgedrückt von h.

Also diese Zahl ist die ultimative Graph für

Sind Sie von diesen beiden Figuren verwechselt? Nicht schwitzen. Beide zeigen das gleiche. Beide Figuren sind visuelle Darstellungen von

Tun Sie Mathe gibt Ihnen, endlich, die Steigung der Tangente an (2, 4):

So ist die Steigung am Punkt (2, 4) 4.

Haupt Definition der Derivat: Wenn Sie den Punkt ersetzen (2, f(2)) in der Grenzgleichung mit dem allgemeinen Punkt (x, f (x)), Können Sie die allgemeine Definition der Ableitung in Abhängigkeit von dem, x:

Also endlich sehen Sie, dass die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten definiert ist.

Das nächste Bild zeigt diese allgemeine Definition grafisch. Man beachte, daß diese Zahl mit dem vorhergehenden ist praktisch identisch, mit der Ausnahme, dass xs die 2s in der vorherigen Figur ersetzen und dass die Bewegungspunkt in dieser Figur nach unten gleitet in Richtung jedem alten Punkt (x, f (x)) Anstelle der spezifischen Punkt in Richtung (2, f(2)).

Nun, diese Grenze arbeiten und die Ableitung für die Parabel zu erhalten, f(x) = x²:

Also für diese Parabel, die Ableitung (das ist die Steigung der Tangente bei jedem Wert x) Gleich 2 istx. Schließen Sie eine beliebige Anzahl in x, und Sie erhalten die Steigung der Parabel an, dass x-Wert. Versuch es.

Die endgültige Zahl Art fasst zusammen (in vereinfachter Form) alle schwierigen vorangegangenen Vorstellungen über den Differenzenquotient.

Wie die vorangegangenen drei Figuren enthält die letzte Figur, die eine grundlegende Steigung Treppenschritt, einen Sekantenlinie, und eine Tangente. Die Steigung der Sekante ist

Die Steigung der Tangente ist

und Sie können sehen, warum dies eines der Symbole für die Ableitung verwendet. Da die Sekante treppenstufen schrumpft nichts unten oder, in anderen Worten, in der Grenze als