Wie wird die Fläche zwischen zwei Kurven zu finden
Um den Bereich zwischen zwei Kurven zu finden, müssen Sie mit einem Ausdruck für ein schmales Rechteck zu entwickeln, die auf einer Kurve sitzt und geht zu einem anderen nach oben.
von x = 0 x = 1:
Um die Höhe des repräsentativen Rechteck in der Abbildung zu erhalten, subtrahieren die y-Koordinate seines Bodens aus der y-Koordinate der Spitze - das ist
Seine Basis ist die infinitesimale dx. Weil Bereich gleich Höhe mal Base,
Nun summieren Sie nur die Flächen aller Rechtecke von 0 bis 1 durch Integration:
Nun, um die Dinge ein wenig mehr verdreht, in das nächste Problem die Kurven kreuzen (siehe folgende Abbildung). Wenn dies geschieht, müssen Sie die gesamte schraffierte Fläche in separate Bereiche zu unterteilen, bevor die Integration. Probier diese:
von x = 0 x = 2 ist.
Bestimmen Sie, wo die Kurven kreuzen.
Sie überqueren an (1, 1) - was für ein tolle Zufall! So haben Sie zwei voneinander getrennte Bereiche bekam - ein von 0 bis 1 und eine andere von 1 bis 2.
Abbildung der Fläche der Region auf der linken Seite.
Abbildung der Fläche der Region auf der rechten Seite.
Fügen Sie die Bereiche der beiden Regionen, um die Gesamtfläche zu bekommen.
# 8776- 3.11 Quadrateinheiten
Man beachte, dass die Höhe eines repräsentativen Rechteck ist immer ihre oben minus seine Boden, unabhängig davon, ob diese Zahlen positiv oder negativ sind. Zum Beispiel ist ein Rechteck, das von 20 bis 30 geht eine Höhe von 30 bis 20, oder 10 ein Rechteck, das von -3 bis 8 hat eine Höhe von 8 geht - (-3) oder 11- und ein Rechteck das geht von -15 bis -10 eine Höhe von -10 hat - (-15) oder 5.
Wenn Sie diesen Top-minus-bottom Methode denken, um die Höhe eines Rechtecks herauszufinden, können Sie jetzt sehen - Sie unter der Annahme, es schon nicht sehen - warum das bestimmte Integral einer Funktion Bereich unterhalb der zählt x-Achse als negativ. Betrachten wir zum Beispiel die folgende Abbildung.
Was ist der schraffierte Bereich? Hinweis: es ist nicht
Wenn Sie die gesamte Fläche der schraffierten Bereich in der Abbildung dargestellt wollen, müssen Sie den schraffierten Bereich in zwei separate Teile zu teilen, wie Sie im letzten Problem tat.
Für das erste Stück, 0 bis pi, weist eine repräsentative Rechteck eine Höhe gleich der Funktion selbst, y = Sin (x), Weil seine Oberseite auf die Funktion und seinem Boden ist auf Null - und natürlich etwas minus Null selbst ist. So die Fläche dieses ersten Teils wird von dem gewöhnlichen bestimmten Integrals gegebenen
die Spitze eines repräsentativen Rechtecks bei Null ist - daran erinnern, dass die x-Achse ist die Linie, y = 0 - und seine Unterseite ist auf y = Sin (x), So dass seine Höhe (gegeben, natürlich, von oben minus unten) 0 - sin (x), Oder einfach nur -sin (x). Also, um die Fläche dieses zweiten Stück zu bekommen, du darauf das bestimmte Integral der Negativ der Funktion,
Weil das Negativ Integral gibt Ihnen die gewöhnlichen, positiv Bereich des Stücks unter der x-Achse, die positiv bestimmte Integral
gibt ein Negativ Bereich. Deshalb, wenn Sie das bestimmte Integral Figur
über die gesamte Spannweite, das Stück unter der x-Achse zählt als negativen Bereich, und die Antwort gibt Ihnen die Netz der Bereich über dem x-Achse minus der Bereich unterhalb der Achse - eher als die gesamte schraffierte Fläche. Klar wie Schlamm?