Wie der Bereich Funktion Works

Die Flächenfunktion ist ein bisschen komisch. Brace yourself. Sagen Sie jede alte Funktion haben, f(t). Stellen Sie sich vor, dass bei einigen t-Wert, es nennen s, ziehen Sie eine feste vertikale Linie. (Beachten Sie, dass, weil diese Linie festgelegt ist, s eine Konstante ist, nicht eine Variable.) unter die Figur Check out.

Dann fügen Sie eine bewegliche vertikale Linie (die gestrichelte Linie in der Figur) bei der t-Wert x. Sie beginnen mit der gepunkteten Linie an s(# 147-s# 148- ist für beginnend Punkt), und ziehen Sie ihn nach rechts. Wie Sie die Linie ziehen, kehren Sie eine größere und größere Fläche unter der Kurve heraus zwischen s und x. Dieser Bereich ist eine Funktion der x, die Position der beweglichen Leitung.

In Symbole, die Sie schreiben

Das dt ist ein kleines Inkrement entlang der t-Achse - eigentlich ein verschwindend kleiner Zuwachs.

Hier ist ein einfaches Beispiel, um sicherzustellen, dass Sie den Griff bekommen habe, wie die Flächenfunktion arbeitet. By the way, fühlen sich nicht schlecht, wenn Sie diese extrem schwer zu erfassen - Sie haben viele Unternehmen bekam. Angenommen, Sie haben die einfache Funktion bekam f(t) = 10 - das ist eine horizontale Linie bei y = 10. Wenn Sie Bereich fegen am Anfang s = 3, wird die folgende Fläche Funktion erhalten:

Sie können sehen, dass der Bereich von 3 auf 4 ist 10 gefegt, weil in der Linie von 3 auf 4 Ziehen Sie ein Rechteck mit einer Breite von 1 und einer Höhe von 10 fegen, die 10 eine Fläche von 1 mal hat, oder 10. Siehe Abbildung unten.

Nun stelle man sich, dass Sie die Linie über mit einer Rate von einem ziehen Einheit pro Sekunde. Sie beginnen bei x = 3, und Sie treffen 4 auf 1 Sekunde, 5 auf 2 Sekunden 6 auf 3 Sekunden, und so weiter. Wie viel Fläche fegen Sie pro Sekunde aus? Zehn Quadrateinheiten pro Sekunde weil jeder Sie eine weitere 1-by-10-Rechteck fegen Sekunde. Hinweis - das ist riesig -, dass, weil die Breite jedes Rechtecks ​​Sie fegen 1, die Fläche jedes Rechteck - die gegeben ist durch Höhe mal Breite - als seine Höhe ist gleich, weil alles mal selbst gleich 1 ist. Sie werden sehen, warum dies in einer Minute ist riesig.

Okay, sitzen Sie unten? Sie haben eine der großen erreicht Ah ha! Momente in der Geschichte der Mathematik. Daran erinnern, dass ein Derivat eine Rate ist. So, weil die Rate, mit der der vorhergehende Bereich Funktion wächst 10 Quadrateinheiten pro Sekunde, Sie können ihr Derivat ist gleich 10. So sagen, Sie schreiben können;

Jetzt ist hier die kritische Sache: Beachten Sie, dass diese Rate oder ein Derivat von 10 ist die gleiche wie die Höhe der ursprünglichen Funktion f(t10) = weil, wie Sie über 1 Einheit gehen, können Sie ein Rechteck fegen, die 1 von 10 ist, die eine Fläche von 10, die Höhe der Funktion.

Dies funktioniert für jede Funktion, nicht nur horizontale Linien. Die folgende Abbildung zeigt die Funktion G(t) Und seine Umgebung Funktion

dass fegt den Bereich aus, beginnend bei s = 2 ist.

Du kannst das sehen

entspricht etwa 20, weil die überstrichene Fläche zwischen 2 und 3 hat eine Breite von 1 und der gekrümmten Oberseite der # 147-Rechteck # 148- hat eine mittlere Höhe von etwa 20 also während dieses Intervalls, die Wachstumsrate von

etwa 20 Quadrateinheiten pro Sekunde. Zwischen 3 und 4, kehren Sie über 15 Quadratflächeneinheiten aus, weil das in etwa die durchschnittliche Höhe ist von G(tSo) zwischen 15 und 4, während die zweite Anzahl zwei - das Intervall von x = 3 bis x = 4 - die Wachstumsrate von

15 geht.

Das Preis der Bereich wird unter einer Kurve durch eine Flächenfunktion zu einem gegebenen gefegt x-Wert gleich der Höhe der Kurve an, dass x-Wert.

Obwohl es ein bisschen locker - in der Diskussion der obigen Abbildung - sagen Dinge wie # 147-grob # 148- dies und # 147-Durchschnitt # 148-, dass nicht Sorgen machen, wenn Sie die Mathematik zu tun, es ist alles klappt. Die wichtige Sache, sich darauf zu konzentrieren, dass die Rate der Fläche unter einer Kurve gefegt geführt wird, die gleiche wie die Höhe der Kurve.