Wie man ungefähre Fläche mit Midpoint Rectangles

Eine gute Möglichkeit, Bereiche mit Rechtecken angenähert ist zu jedem Rechteck, um die Kurve in der Mitte des Rechtecks ​​der Oberseite machen überqueren. Ein Mittelpunkt Summe ist eine viel bessere Schätzung der Fläche als entweder eine linke, Rechteck oder rechts, Rechteck Summe. Die folgende Abbildung zeigt, warum.

Sie können in der Abbildung zu sehen, dass der Teil jedes Rechteck, das oberhalb der Kurve etwa die gleiche Größe sieht ist wie der Spalt zwischen dem Rechteck und der Kurve. Ein Mittelpunkt Summe erzeugt so eine gute Schätzung, weil diese beiden Fehler gegenseitig aufheben grob.

Die Abbildung oben zeigt, wie man drei Mittelpunkt Rechtecke verwenden würde, um den Bereich zu schätzen, unter

von 0 bis 3. Für die drei Rechtecke, deren Breiten 1 und ihre Höhen sind f(0,5) = 1,25, f(1.5) = 3.25, und f(2,5) = 7,25. Bereich = Base x Höhe, addieren so 1,25 + 3,25 + 7,25 die Gesamtfläche von 11,75 zu erhalten.

Mit dem bestimmten Integral finden Sie, dass die genaue Fläche unter dieser Kurve 12 zu sein, stellt sich heraus, so dass der Fehler mit dieser Schätzung drei-Mittelpunkt-Rechtecke beträgt 0,25. Vergleichen Sie das mit der viel schlimmer Fehler der drei linken, Rechtecke schätzen und die drei rechten, Rechtecke Schätzung von 4,0 bzw. 5,0.

Hier ist die offizielle Mittelpunkt Regel:

Mittelpunkt Rechteck-Regel-Sie können die exakte Fläche unter einer Kurve annähern zwischen ein und b,

mit einer Summe von midpoint Rechtecke durch die folgende Formel gegeben. Im Allgemeinen sind die mehr Rechtecke, desto besser ist die Schätzung:

Woher, n ist die Anzahl der Rechtecke,

ist die Breite jedes Rechtecks ​​und die Funktionswerte die Höhe der Rechtecke sind.