Wie die Langrangian Funktion in Managerial Economics verwenden

Business-Situationen werden durch Einschränkungen erschwert, die in Betriebswirtschaft berücksichtigt werden kann mit der Lagrangefunktion

. Vielleicht hat sich das Unternehmen einen Vertrag unterzeichnet 1.000 Einheiten des guten täglich zu produzieren, oder das Unternehmen hat bestimmte Eingaben, wie der Fabrikgröße, die nicht geändert werden kann. Einschränkungen begrenzen die Möglichkeiten des Unternehmens. Ihr Ziel ist es, eine Funktion vorbehaltlich der Einschränkungen oder Beschränkungen zu optimieren.

Das Lagrangefunktion ist eine Technik, die Funktion wird mit Funktionen kombiniert optimiert, um die Einschränkung oder Einschränkungen in eine einzige Gleichung beschreibt. die Lagrange-Funktion lösen können Sie die Variable, die Sie wählen, vorbehaltlich der Einschränkungen zu optimieren, die Sie nicht ändern können.

Wie Sie Ihr Ziel (Funktion) zu identifizieren

Das Zielfunktion ist die Funktion, die Sie zu optimieren. Die abhängige Variable in der Zielfunktion stellt Ihr Ziel - die Variable, die Sie optimieren möchten. Beispiele für Zielfunktionen umfassen die Gewinnfunktion zu maximieren Gewinn und die Nutzenfunktion für die Verbraucher Zufriedenheit (Utility) zu maximieren.

Constraint-Funktionen

EIN Constraint-Funktion auf Ihr Verhalten stellt eine Einschränkung. Die abhängige Variable in der Einschränkung, stellt die Begrenzung. Beispiele für Constraint-Funktionen umfassen die Anzahl der Einheiten, die Sie produzieren, um müssen einen Vertrag und den Haushalt zur Verfügung zu einem Verbraucher zu befriedigen.

Wie die Lagrange-Funktion zu konstruieren

Die Technik für ein Lagrangian Funktion Konstruktion ist die Zielfunktion und alle Einschränkungen in einer Weise zu kombinieren, dass zwei Bedingungen erfüllt. in der Zielfunktion der Optimierung Zunächst muss führen die Lagrangefunktion zu optimieren. Zweitens müssen alle Randbedingungen erfüllt sein. Um diese Bedingungen zu erfüllen, verwenden Sie die folgenden Schritte, um die Lagrange-Funktion angeben.

Annehmen u ist die Variable optimiert wird, und daß es eine Funktion der Variablen ist x und z. Deswegen,

Darüber hinaus gibt es zwei Beschränkungen, c₁ und c₂, die auch Funktionen x und z;

Die folgenden Schritte stellen die Lagrange-Funktion:

1. Respecify die Einschränkungen, so dass sie gleich Null.

   

2. Multiplizieren Sie die Einschränkungen, die durch die Faktoren Lambda ein und Lambda zwei, # 235-₁ und # 235-₂, jeweils (mehr auf diese in einem Moment).

   

3. Fügen Sie die Constraints mit dem Lambda-Term der objektiven Funktion, um die Lagrangesche Funktion zu bilden, # 194- '.

   

In dieser Beschreibung ist der Lagrange-Funktion werden die Variablen, die durch x, z, # 955-₁, und # 955-₂. Nimmt man die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion mit Bezug auf # 955-₁ und # 955-₂ und sie gleich Null gesetzt wird sichergestellt, dass Ihre Einschränkungen erfüllt sind, während die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion nimmt in Bezug auf x und z und Einstellung ihnen gleich Ihre Zielfunktion auf Null zu optimieren.

Der Lagrangian Multiplier

Managerial Economics hat viele nützliche Verknüpfungen. Einer dieser Verknüpfungen ist die # 955- in der Lagrange-Funktion verwendet. In der Lagrange-Funktion werden die Einschränkungen durch die Variable multipliziert # 955-, die genannt wird Lagrange-Multiplikator.

Diese Variable ist wichtig, weil # 955- misst die Änderung, die in der Variablen auftritt optimiert eine Änderung der Randbedingung einer Einheit gegeben. Wenn Sie versuchen, die Kosten für die Herstellung einer bestimmten Menge von Ausgabe zu minimieren, # 955- sagt Ihnen, wie viel Gesamtkosten ändert sich, wenn Sie eine weitere Einheit der Ausgabe. Dies ermöglicht es Ihnen, schnell die Beziehungen zwischen den Zwängen zu bewerten und die Variable optimiert.

Nehmen wir an, dass Ihre Firma einen Vertrag hat, die sie benötigt 1.000 Einheiten eines guten täglich zu produzieren. Die Firma nutzt Arbeit und Kapital, das Gute zu erzeugen. Die Menge der eingesetzten Arbeitskräfte, L, wird in Stunden gemessen, und der Lohn ist $ 10 pro Stunde. Die Menge des eingesetzten Kapitals, K, gemessen in Maschinenstunden, und der Preis pro Maschine Stunde beträgt 40 $. Damit Ihr Unternehmen die gesamten Betriebskosten, TC, gleich

Die Produktionsfunktion beschreibt die Beziehung zwischen den Mengen von Arbeit und Kapital verwendet und die Menge des guten produziert

Nach Vertrag, q muss 1000 betragen. Sie müssen die Menge an Arbeit und Kapital bestimmen zu verwenden, um die Kosten für die Herstellung der 1.000 Einheiten des Guten zu minimieren.

1. Erstellen Sie eine Lagrangefunktion. Erkennen Sie, dass die Variable Sie versuchen, sind die Gesamtkosten zu optimieren - speziell, Sie versuchen, die Gesamtkosten zu minimieren. So ist Ihr Zielfunktion 10L + 40K. Zweitens Ihre Einschränkung ist, dass 1.000 Einheiten der gut von der Produktionsfunktion erzeugt werden müssen. So Ihre Einschränkung ist,

   1000 - 20L^0,5K^0,5 = 0.

   Ihre Lagrangefunktion ist

   

2. Nehmen Sie die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion in Bezug auf Arbeit und Kapital - L und K - und setzte sie gleich Null. Diese Gleichungen sicherzustellen, dass die Zielfunktion optimiert wird - in diesem Fall wird die Gesamtkosten minimiert.

   

3. Nehmen Sie die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion in Bezug auf # 235- und legen Sie es gleich Null ist. Diese partielle Ableitung stellt sicher, dass die Einschränkung - 1.000 Einheiten des guten täglich produzieren - erfüllt ist.

   

4. Lösen Sie die drei partiellen Ableitungen gleichzeitig für die Variablen L, K, und # 235- die Gesamtkosten der Herstellung von 1.000 Einheiten des Guten zu minimieren.

   Umschreiben die partielle Ableitung von # 914- 'in Bezug auf L ermöglicht Ihnen zu lösen # 955-.

   

   Setzt man die vorherige Gleichung für # 955- in der partiellen Ableitung von # 914- 'in Bezug auf K Ausbeuten

   

5. Ersatzfarbe 4K für L in der Beschränkung (die partielle Ableitung von L bezüglich # 235-) zu erhalten

   

   So sollte Ihre Firma 25 Maschinenstunden des Kapitals verwenden täglich.

   Da Sie früher bestimmt L = 4K

   

   Schließlich können Sie lösen für # 955;

   

   Daher minimieren die Kombination 100 Stunden Arbeit und 25 Maschinenstunden von der Hauptstadt, die Gesamtkosten 1.000 Einheiten des guten täglich produzieren. In Ergänzung, # 955- gleich 2. Denken Sie daran, dass Lambda die Änderung anzeigt, die in der Zielfunktion kommt es zu einer eine Einheit Änderung der Einschränkung gegeben. Wenn also Ihre Firma will eine Einheit der guten, die Gesamtkosten erhöht sich um $ 2 zu erzeugen.