Wie finden Sie die Energie-Eigenzustand eines harmonischen Oszillators im Ortsraum
In der Quantenphysik können Sie Operatoren verwenden, um die Energie-Eigenzustand eines harmonischen Oszillators im Ortsraum zu bestimmen. Der Reiz der Verwendung der Operatoren ein und
dass der Grundzustand gegeben ist, | 0>, diese Betreiber können Sie alle aufeinanderfolgenden Energiezustände finden. Wenn Sie einen angeregten Zustand eines harmonischen Oszillators zu finden möchten, können Sie mit den Grundzustand, beginnen | 0>, und wenden Sie die Anhebung Betreiber,
Zum Beispiel können Sie dies tun:
Und so weiter. In der Regel haben Sie diese Beziehung:
Können Sie nicht eine räumliche Eigenzustand dieser Eigenvektor bekommen? Etwas wie
nicht nur | 0>? Ja, kannst du. Mit anderen Worten: Sie wollen zu finden
Sie müssen also die Darstellungen von
im Ortsraum.
Das p Operator ist definiert als
weil
Du kannst schreiben
und schreiben
dies wird
Okay, was ist mit dem ein Operator? Du weißt, dass
Und das
Deswegen,
Sie können auch diese Gleichung schreiben als
Okay, das ist also ein in der Position abweichen. Was ist
Das stellt sich heraus, dies zu sein:
Jetzt ist die Zeit klug zu sein. Sie möchten zu lösen | 0> in der Lage, Raum, oder lt; x| 0>. Hier ist der Clou - wenn Sie die Senkung Operator verwenden, ein, auf | 0>, müssen Sie 0, weil es keinen niedrigeren Zustand als der Grundzustand ist, so ein | 0> = 0 und Anwendung der lt; x | BH gibt Ihnen lt; x | ein | 0> = 0.
Das ist klug, denn es wird Ihnen eine homogene Differentialgleichung zu geben (das heißt, eine, die gleich Null ist). Erstens ersetzen Sie ein:
Multiplizieren beider Seiten mit
gibt Ihnen die folgende
Die Lösung dieser Differentialgleichung kompakte
Das ist eine Gaußsche Funktion, so dass der Grundzustand eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators ist eine Gaußsche Kurve, wie Sie in der Abbildung zu sehen.
