Arbeiten mit Dreidimensionale Harmonic Oscillators

In der Quantenphysik, wenn Sie in einer Dimension arbeiten, sieht die allgemeine Partikel harmonischen Oszillator wie die Figur hier gezeigt, wobei das Teilchen unter dem Einfluß einer Rückstellkraft ist - in diesem Beispiel als eine Feder dargestellt.

Die Rückstellkraft hat die Form F_x = -k_xx in einer Dimension, wobei k_xist die Proportionalitätskonstante zwischen der Kraft auf das Teilchen und die Lage des Teilchens. Die potentielle Energie des Teilchens in Abhängigkeit von der Lage x ist

Dies wird auch manchmal geschrieben als

Nun nehmen Sie einen Blick auf den harmonischen Oszillator in drei Dimensionen. In drei Dimensionen, sieht das Potential wie folgt aus:

Nun, da Sie ein Formular für das Potential haben, können Sie sprechen in Bezug auf die Schr # 246-dinger-Gleichung zu starten:

Substituieren in die dreidimensionalen Potential V (x, y, z), Gibt Ihnen diese Gleichung:

Nehmen Sie diese Dimension Dimension. Weil Sie das Potenzial in drei Dimensionen trennen kann, können Sie schreiben

Daher sieht die Schr # 246-dinger Gleichung, wie dies für x:

dass die Gleichung lösen, können Sie diese nächste Lösung erhalten:

woher

und n_x = 0, 1, 2, und so weiter. Die H_nx Begriff bezeichnet eine hermite Polynom, das wie folgt aussieht:

• H₀(x) = 1

• H₁(x) = 2x

• H₂(x) = 4x² - 2

• H₃(x) = 8x³ - 12x

• H₄(x) = 16x⁴ - 48x² + 12

• H₅(x) = 32x⁵ - 160x³ + 120x

Daher können Sie die Wellenfunktion wie folgt schreiben:

Das ist eine relativ einfache Form für eine Wellenfunktion, und es ist alles möglich gemacht durch die Tatsache, dass Sie das Potenzial in drei Dimensionen trennen kann.

Was ist mit der Energie des harmonischen Oszillators? Die Energie eines eindimensionalen harmonischen Oszillator

Und analog dazu die Energie eines dreidimensionalen harmonischen Oszillators ist gegeben durch

Beachten Sie, dass, wenn Sie einen isotropen harmonischen Oszillator, wobei

die Energie, sieht wie folgt aus:

Wie für die kubische Potential ist die Energie eines 3D isotropen harmonischen Oszillators degenerieren. Zum Beispiel E₁₁₂ = E₁₂₁ = E₂₁₁. In der Tat ist es möglich, mehr als das Dreifache Entartung für einen 3D-isotropen harmonischen Oszillators zu haben - zum Beispiel E₂₀₀ = E₀₂₀ = E₀₀₂ = E₁₁₀ = E₁₀₁ = E₀₁₁.

Im Allgemeinen ist die Entartung eines 3D isotropen harmonischen Oszillator

woher n = n_x + n_y + n_z.