Wie eine Funktion von r zu halten Finite wie r unendlich geht

In der Quantenphysik, wenn die Lösung für eine radiale Gleichung für ein Wasserstoffatom zu finden, müssen Sie die Funktion zu halten r endlich als r gegen unendlich geht die Lösung von immer unphysikalischen zu verhindern. Sie können dies erreichen, indem Beschränkungen der zulässigen Werte der Energie und verursacht die Lösung für die radiale Gleichung auf Null zu gehen setzen, wie r geht gegen unendlich.

Das Problem,

gehen ins Unendliche als r geht ins Unendliche liegt in der Form, die Sie für f annehmen (r), welches ist

Die Lösung ist zu sagen, dass diese Potenzreihe an einem bestimmten Index beenden müssen, die Sie N. N nennen genannt wird Radialquantenzahl. So wird diese Gleichung die folgenden (beachten Sie, dass die Summe nun auf N ist, nicht unendlich):

Für diese Serie zu beenden, ein_{N + 1}, ein_{N + 2}, ein_{N + 3}, und so weiter müssen alle Null sein. Die Rekursion für die Koeffizienten ein_k ist

Für ein_{N + 1} zu Null, Multiplizieren der Faktor ein_k-1 muss Null sein für k = N + 1, was bedeutet, dass

Setzt man in k = N + 1 gibt Ihnen

Und durch zwei dividiert gibt Ihnen

Making the Substitution

woher n genannt wird, die Hauptquantenzahl, gibt Ihnen

Dies ist die Quantisierung Bedingung, dass, wenn die Reihe für f erfüllt sein müssen (r) Endlich zu sein, was es sein muss, physikalisch:

weil

Die gleichung

legt Beschränkungen der zulässigen Werte der Energie.