Kombinieren Sie die Lösungen für kleine r und Large r in der Schr & # 246-dinger Gleichung
Wenn Sie den quantenmechanischen Schr # 246-dinger-Gleichung für ein Wasserstoffatom anwenden, müssen Sie die Lösungen für kleine zusammengestellt r und große r. Die Schr # 246-dinger Gleichung gibt Ihnen eine Lösung zur radialen Schr # 246-dinger-Gleichung für ein Wasserstoffatom, wie folgt:
wobei f (r) Ist einige bis jetzt noch unbestimmter Funktion r. Ihre nächste Aufgabe ist es f zu bestimmen (r), Die Sie durch Einsetzen dieser Gleichung in die radiale Schr # 246-dinger Gleichung zu tun, so dass Sie die folgenden Schritte aus:
die Substitution durchführen gibt Ihnen die folgende Differentialgleichung:
Ganz eine Differentialgleichung, nicht wahr? Aber einfach zurücklehnen und entspannen - Sie können es mit einer Potenzreihe zu lösen, die der Lösung von Differentialgleichungen ein gemeinsamer Weg ist. Hier ist die Power-Serie Form von f (r) benutzen:
Setzt man die vorhergehende Gleichung in die ein, bevor es dich gibt
Ändern des Index des zweiten Terms von k nach k - 1 gibt Ihnen
Da jeder Begriff in dieser Serie Null sein muss, haben Sie
Die Division durch rk-2 gibt Ihnen
Diese Gleichung gibt die Rekursion der unendlichen Reihe,
Das heißt, wenn Sie einen Koeffizienten haben, können Sie das nächste bekommen diese Gleichung. Was bedeutet, dass Sie kaufen? Nun, werfen Sie einen Blick auf das Verhältnis von eink/eink-1:
Hier ist, was dieses Verhältnis nähert sich als k geht gegen unendlich:
Dies ähnelt der Erweiterung für ex, welches ist
Wie für e2x, das Verhältnis von aufeinander folgenden Bedingungen ist
Und in der Grenz
das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Ausdehnungskoeffizienten von e2xAnsätze 2 /k:
Das ist der Fall für e2x. Für f (r), du hast
Vergleicht man diese beiden Gleichungen, dann ist es offensichtlich, dass
Die radiale Wellenfunktion, Rnl(r), sieht aus wie das:
woher
Anstecken Sie das Formular für f haben (r),
Okay, sollten Sie überglücklich sein? Nun, nein. Hier ist, was die Funktion Welle
sieht aus wie:
Und Substitution in Ihrer Form von Rnl(r) Aus dieser Gleichung gibt Ihnen
