Die Lösung der Wellenfunktion der kleinen r und Large r die Schr & # 246-dinger Gleichung

Ihre Quantenphysik Lehrer können Sie fragen, für die Wellenfunktion für einen konfektionierten Teilchen der Masse zu lösen m

in einem Wasserstoffatom. Um dies zu tun, können Sie mit Hilfe eines modifizierten Schr # 246-dinger Gleichung beginnen, die für große und kleine löst r:

Da die Schr # 246-dinger Gleichung enthält Begriffe, die entweder R oder r aber nicht beide, zeigt die Form dieser Gleichung, daß es sich um eine trennbare Differentialgleichung ist. Und das bedeutet, dass Sie für eine Lösung der folgenden Form aussehen kann:

Setzt man die vorhergehende Gleichung in die ein, bevor es Sie folgende gibt:

Und Dividieren dieser Gleichung durch

gibt Ihnen

Diese Gleichung hat Begriffe, die entweder abhängig

aber nicht beide. Das bedeutet, dass Sie diese Gleichung trennen kann in zwei Gleichungen wie folgt (wobei die Gesamtenergie, E, E gleich_R + E_r):

Vermehrung

gibt Ihnen

und Multiplizieren

gibt Ihnen

Jetzt können Sie lösen für r, sowohl kleine als auch große.

Die Lösung für kleine r

Die Schr # 246-dinger Gleichung für

Funktion ist die Welle für einen konfektionierten Teilchen der Masse m (in der Praxis,

ist ziemlich nah an

so dass die Energie, E_r, um die Energie des Elektrons ist ziemlich nah dran). Hier ist die Schr # 246-dinger Gleichung für

Sie können die Lösung brechen,

in einen radialen Teil und einem Winkelteil:

Der Winkelteil

aus sphärischen Harmonischen besteht,

so dass ein Teil ist in Ordnung. Nun müssen Sie für die radiale Teil lösen, R_nl(r). Hier ist, was die Schr # 246-dinger Gleichung für den radialen Teil wird:

woher

Um diese Gleichung zu lösen, nehmen Sie einen Blick auf zwei Fällen - wo r sehr klein ist und wo r es ist sehr groß. Putting sie gibt Ihnen zusammen, um die grobe Form der Lösung.

Die Lösung für große r

Für sehr große r,

Da das Elektron in einem gebundenen Zustand in dem Wasserstoffatom, E lt; 0- Somit ist die Lösung der vorstehenden Gleichung proportional

Beachten Sie, dass

unterscheidet, wie es r gegen unendlich geht wegen der

Sicht müssen so B gleich Null sein. Das bedeutet, dass