Das Finden der Schnittpunkte von Linien und Parabeln

Eine Zeile kann in zwei Punkten durch eine Parabel geschnitten, oder es kann nur Tangente der Parabel sein, und es an einem Punkt berühren. Und dann, leider, eine Linie und eine Parabel kann nie erfüllen. Wenn Gleichungssysteme beteiligt Linien und Parabeln zu lösen, verwenden Sie in der Regel die Substitutionsmethode - die Lösung für x

oder y in der Gleichung der Linie und in die Gleichung der Parabel ersetzen.

Manchmal geben die Gleichungen selbst Elimination - wenn die Gleichungen Zugabe (oder einem Vielfachen der Gleichungen) zusammen eliminiert eine der Variablen ganz da sein Koeffizient wird 0. Elimination nur gelegentlich funktioniert, aber Substitution funktioniert immer.

Beispielfragen

  1. Finden Sie die gemeinsame Lösung (en) in den Gleichungen y = -5x2 + 12x + 3 und 8x + y = 18.

    Die Schnittpunkte sind (1, 10), (3, -6). Hier ist ein weiterer Weg, um diese Lösung zu schreiben: Wenn x = 1, y = 10, und wenn x = 3 ist, y = -6. Um diese Lösungen zu, schreiben die Gleichung der Linie finden, wie y = 18-8x.

    Ersetze das y in der Gleichung der Parabel mit seinem Äquivalent zu erhalten 18-8x = -5x2 + 12x + 3. Verschieben Sie alle Bedingungen auf der linken Seite und kombinieren wie Begriffe, Sie geben 5x2 - 20x + 15 = 0. Dividieren jeder Begriff von 5 und dann Faktor, mit dem Sie die Gleichung ergibt 5 (x2 - 4x + 3) = 5 (x - 3)(x - 1) = 0.

    Mit der Multiplikation Eigenschaft von Null (in der Reihenfolge für ein Produkt 0 zu entsprechen, ist einer der Faktoren muss 0 sein), wissen Sie, dass x = 3 oder x = 1. diese Werte ersetze zurück in die Gleichung der Linie, die die entsprechenden bekommen y-Werte.

    Immer ersetzen zurück in die Gleichung mit den unteren Exponenten. Sie können die Erstellung Fremdlösungen zu vermeiden.

  2. Finden Sie die gemeinsame Lösung (en) in den Gleichungen y = x2 - 4x und 2x + y + 1 = 0

    (1, -3). Lösen für y in der Gleichung der Linie zu erhalten, y = -2x - 1. Stellvertreter dieser Wert in die Gleichung der Parabel zu erhalten -2x - 1 = x2 - 4x. Das Verschieben der Bedingungen nach rechts und Vereinfachung, 0 = x2 - 2x + 1 = (x - 1)2.

    Die einzige Lösung ist x = 1. Ersetzen x mit 1 in der Gleichung der Linie, finden Sie, dass y = -3. Die Linie ist tangential zu der Parabel am Kreuzungspunkt, weshalb dieses Problem nur eine Lösung hat.

Übungsfragen

  1. Finden Sie die gemeinsame Lösung (en) in den Gleichungen y = x2 + 4x + 7 und 3x - y + 9 = 0.

  2. Finden Sie die gemeinsame Lösung (en) in den Gleichungen y = 4x2 - 8x - 3 und 4x + y = 5.

Im Folgenden finden Sie Antworten auf die Fragen der Praxis:

  1. Die Antwort ist, (-2, 3), (1, 12).

    Lösen für y in der zweiten Gleichung (Sie erhalten y = 3x + 9), und Ersatz, die in die Gleichung der Parabel: 3x + 9 = x2 + 4x + 7. Verschieben Sie alle Bedingungen auf der rechten Seite und Faktor, der die Gleichung: 0 = x2 + x - 2 = (x + 2) (x - 1).

    Damit, x = -2 Oder 1. Vermietung und Verpachtung x = -2 In der Gleichung der Linie, 3 (-2) - y + 9 = 0- -6 - y + 9 = 0- -y = -3- y = 3. Und wenn x = 1 in der Gleichung der Linie, 3 (1) - y + 9 = 0- 3 - y + 9 = 0- -y = -12- y = 12.

    Wenn zur Lösung der zweite in der Lösung eines Gleichungssystems koordinieren, verwenden die einfachere Gleichung - die man mit den kleineren Exponenten - Fremd Lösungen Einführung zu vermeiden.

  2. Die Antwort ist, (-1, 9), (2, -3).

    Lösen für y in der zweiten Gleichung (Sie erhalten y = 5-4x) Und ersetzen das Äquivalent von y in die Gleichung der Parabel: 5-4x = 4x2 - 8x - 3. Verschieben Sie alle Bedingungen auf der rechten Seite und Faktor, der die Gleichung: 0 = 4x2 - 4x - 8 = 4 (x2 - x - 2) = 4 (x + 1) (x - 2).

    Mit der Multiplikation Eigenschaft von Null, Sie feststellen, dass x = -1 Oder x = 2. Wenn x = -1 In der Gleichung der Linie, 4 (-1) + y = 5- -4 + y = 5- y = 9. Und Substitution x = 2 in der Gleichung der Linie, 4 (2) + y = 5- 8 + y = 5- y = -3.

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