Lösen von zwei linearen Gleichungen algebraisch

Eine Lösung eines Systems von zwei linearen Gleichungen besteht aus den Werten von x

und y dass machen beide der Gleichungen wahr - zugleich. Grafisch ist die Lösung der Punkt, wo sich die beiden Linien schneiden. Die beiden am häufigsten verwendeten Methoden für lineare Gleichungssysteme sind Eliminierung und Substitution zu lösen:

  • Elimination (auch Add-subtrahieren genannt): Bei diesem Verfahren werden die beiden Gleichungen Addition - oder ein Vielfaches der beiden Gleichungen - so dass in der Summe, der Koeffizient der eine der Variablen zu 0. Diese Variable fällt aus (behoben ist), so dass man für die andere Variable lösen können. Dann stecken Sie die Lösung wieder in eine der ursprünglichen Gleichungen und lösen für die Variable, die Sie eliminiert.

  • Auswechslung: Diese Methode hat Sie setzen eine der Gleichungen gleich zu x oder y. Sie können dann für die Variable in die andere Gleichung, die äquivalent der Variablen aus einer Gleichung ersetzen. Sie enden mit einem Single-Variable Gleichung auf, die Sie lösen können. Schließen Sie dann die Antwort in einer der ursprünglichen Gleichungen und für die andere Variable lösen.

Sie können beide Verfahren verwenden lineare Systeme zu lösen, und Sie wählen einen über den anderen, wenn eine Methode besser in einem bestimmten System scheint zu funktionieren (Substitution funktioniert am besten, wenn der Koeffizient auf eine der Variablen 1 oder -1). Die folgenden Beispiele zeigen das gleiche System von Gleichungen gelöst, beide Methoden verwenden.

Beispielfragen

  1. Verwenden Beseitigung für die gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen zu lösen: x + 3y = 4 und 2x + 5y = 5.

    x= -5, y= 3 ist. Multiplizieren jedes Glied in der ersten Gleichung von -2 (Sie erhalten -2x - 6y = -8) Und dann die Bedingungen in den beiden Gleichungen zusammen addieren.

    Sie wählen die Nummer -2 als Multiplikator, weil sie den Koeffizienten der Marken x Laufzeit in der ersten Gleichung gleich -2, während der Koeffizient auf x in der zweiten Gleichung ist 2. Die Zahlen -2 und 2 sind Gegensätze, und fügte hinzu, so dass die Gleichungen eliminiert zusammen die x Begriff:

    bild0.jpg

    Jetzt lösen -y = -3 Für y, und Sie erhalten y = 3. Setzen Sie 3 in für y in der ersten ursprünglichen Gleichung, und Sie haben x + 3 (3) = 4- x + 9 = 4- x = -5. Die Lösung ist, x = -5, y = 3, die auch als geordnetes Paar geschrieben (-5, 3). Sie können auch für die Lösung x-Wert durch die 3 in die zweite Gleichung setzen - Sie erhalten das gleiche Ergebnis.

  2. Verwenden Sie Ersatz für die gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen zu lösen: x + 3y = 4 und 2x + 5y = 5.

    x = -5, y = 3 ist.Zu verwenden, Substitution, wählen Sie eine Variable in einer der Gleichungen mit einem Koeffizienten von 1 oder -1. Die einzige Variable, die in diesem System qualifiziert ist x in der ersten Gleichung. Lösen für x bezüglich y in dieser Gleichung. Du erhältst x = 4 - 3y.

    Ersatz, der Äquivalent x in die zweite Gleichung. Die zweite Gleichung wird 2 (4 - 3y) + 5y = 5. Lösen Sie diese Gleichung für y: 8 - 6j + 5y = 5- 8 - y = 5- -y = -3- y = 3. Die Antwort sollte bekannt vorkommen. Ersetzen Sie den 3 in x + 3y = 4 zu erhalten x: x + 3 (3) = 4- x + 9 = 4- x = -5.

Übungsfragen

  1. Lösen Sie für die gemeinsame Lösung in den beiden Gleichungen: 5x - 3y = 7 und 2x + 3y = 7.

  2. Lösen Sie für die gemeinsame Lösung in den beiden Gleichungen: 8x - 3y = 41 und 3x + 2y = 6.

  3. Lösen Sie für die gemeinsame Lösung in den beiden Gleichungen: 4x + 5y = 11 und y = 2x + 5.

Im Folgenden finden Sie Antworten auf die Fragen der Praxis:

  1. Die Antwort ist x= 2 ist, y = 1 ist.

    Die Koeffizienten der y Begriffe sind Gegensätze voneinander, also, wenn Sie die beiden Gleichungen zusammen addieren, Sie 7 erhaltenx = 14- x = 2. Ersetzen Sie die x mit 2 in der ersten Gleichung: 5 (2) - 3y = 7- 10-3y = 7, -3y = -3- y = 1 ist.

  2. Die Antwort ist x= 4, y = -3.

    Multiplizieren Sie die Bedingungen in der ersten Gleichung durch 2 und die Bedingungen in der zweiten Gleichung von 3. Als Ergebnis Sie am Ende das Hinzufügen -6y und 6y zusammen, die eliminiert die y Begriffe, wenn Sie fügen die beiden Gleichungen. Sie erhalten 25x = 100- x = 4. Ersetzen Sie die x mit 4 in der zweiten Gleichung: 3 (4) + 2y = 6- 12 + 2y = 6- 2y = -6- y = -3.

  3. Die Antwort ist x= -1, y = 3 ist.

    Die zweite Gleichung ist bereits gelöst für y. Ersetzen Sie das Äquivalent von y aus der zweiten Gleichung in die erste Gleichung 4 zu erhaltenx + 5 (2x + 5) = 11. Verteilen und zu vereinfachen: 4x + 10x + 25 = 11- 14x + 25 = 11- 14x = -14- x = -1. Ersetze das x mit -1 in der zweiten Gleichung: y = 2 (-1) + 5 = 3.

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