Lösen von Gleichungssystemen in Algebra

In den meisten Fällen ist eine algebraische Gleichung nur auflösbar, wenn ein Wert ist nicht bekannt - das heißt, wenn die Gleichung nur eine Variable hat. In seltenen Fällen können Sie eine Gleichung mit zwei oder mehr Variablen lösen, weil eine Variable ausfällt. Beispielsweise:

An dieser Stelle können Sie 2 subtrahierenxy von beiden Seiten der Gleichung:

In den meisten Fällen wird eine Gleichung mit zwei oder mehr Variablen hat jedoch mehrere Lösungen. Um es für bestimmte Werte von zwei Variablen zu lösen, müssen Sie eine zusätzliche Gleichung - das heißt, ein System von zwei Gleichungen.

Substituieren eines Gleichungssystem zu lösen,

Wenn ein Gleichungssystem einfach ist, ist der einfachste Weg, um es zu lösen, ist durch Substitution. Beispielsweise:

x + 3 = y

3x + y = 7

Die erste Gleichung besagt, dass der Wert von y bezüglich x ist x + 3. dieses System zu lösen, Ersatz x + 3 für y in der zweiten Gleichung:

Nun hat diese Gleichung nur eine Variable, so können Sie es lösen:

Für den Wert von y, Ersatz 1 für x zurück in eine der ursprünglichen Gleichungen - Pick die einfachere der beiden:

Daher wird in diesem System von Gleichungen, x = 1 und y = 4. Hier ist ein weiteres Beispiel mit drei Variablen:

x + y = z

x = 2 + y

3y = 2z

In diesem System teilt die zweite Gleichung, dass x gleich 2 + y, ersetzen so 2 + y für x in der ersten Gleichung und zu vereinfachen:

Nun, Sie wissen, dass z gleich 2 + 2y, machen so diese Substitution für z in der dritten Gleichung, lösen dann für y:

So, y = -4. Ersetzen Sie diesen Wert zurück in die zweite Gleichung:

So, x = -2. Sie können ersetzen -4 auch für y in die dritte Gleichung den Wert zu finden z:

Daher wird in diesem System von Gleichungen, x = -2, y = -4, Und z = -6.

Kombinieren der Gleichungen ein Gleichungssystem zu lösen,

Substitution funktioniert gut für Gleichungssysteme zu lösen, wenn die Gleichungen auf der einfachen Seite sind. Aber wenn die Gleichungen komplizierter zu bekommen, ein besserer Weg, System zu lösen, ist durch die Gleichungen zu kombinieren. Beispielsweise:

12x - 9y = 37

8x + 9y = 23

Weder Gleichung in diesem System macht den Wert einer Variablen in Bezug auf eine andere zu löschen, so dass die Substitution schwierig. Um dieses System zu lösen leichter, fügen die beiden Gleichungen wie folgt:

Die sich ergebende Gleichung 20x = 60 ist sehr einfach zu lösen:

x = 3

Jetzt ersetzen Sie diesen Wert für x in jeder Gleichung, je nachdem, was einfacher scheint:

Daher wird in diesem System von Gleichungen, x = 3 und

In einigen Fällen, wenn man dieses Verfahren verwenden, um ein System von Gleichungen zu lösen, müssen Sie, um eine oder beide Gleichungen mit einer Konstante zu multiplizieren, eine variable Tropfen aus dem System zu machen, wie in dem vorherigen Beispiel. Beispielsweise:

2x + 3y = 33

5x + 4y = 58

In diesem Fall addiert oder subtrahiert die beiden Gleichungen nicht abfallen kann eine Variable zu machen. Also, wollen Sie eine Variable zum Ziel, die Sie möchten aus den beiden Gleichungen sehen fallen, wenn sie entweder gerade addiert oder subtrahiert. Um die x Variable Drop-out, multiplizieren zuerst die erste Gleichung von 5, was der x Koeffizienten in der zweiten Gleichung:

10x + 15y = 165

5x + 4y = 58

Als nächstes wird durch 2 die zweite Gleichung multiplizieren, was das ist x Koeffizienten in der ersten Gleichung:

10x + 15y = 165

10x + 8y = 116

Beachten Sie nun, dass die beiden Gleichungen den Begriff 10 teilenx. So können Sie die erste Gleichung minus der zweiten subtrahieren wie folgt:

Die sich ergebende Gleichung 7y = 49, löst leicht wie folgt:

y = 7

Zur Lösung für x, Ersatz 7 für y in welch auch immer der ursprünglichen Gleichungen scheint einfacher zu handhaben:

Daher wird in diesem System von Gleichungen, x = 6 und y = 7.