Crossing Kurven: Das Finden der Verschneidungen von Parabeln und Kreise

Wenn eine Parabel und Kreis schneiden, sind die Möglichkeiten für ihre Treffen vielfältig. Die beiden Kurven können in bis zu vier verschiedenen Punkten schneiden, oder vielleicht drei oder nur zwei oder sogar nur einen Punkt.

Halten Sie Ihre Optionen offen und wachsam sein für so viele gemeinsame Lösungen wie möglich (rechts - bis zu vier). Und, ja, kann das System keine Lösung überhaupt haben. Die Kurven können einander vollständig vermissen.

Für diese Probleme, schalten Sie in der Regel auf die Substitution. Allerdings müssen Sie nicht eine der Gleichungen setzen müssen, die gleich x oder y von selbst. Sie können eine Gleichung für 4 lösenx oder (y - 3)2 oder ein anderer Begriff, der wird in der anderen Gleichung. Solange die Bedingungen übereinstimmen, können Sie einen Wert für den anderen zu tauschen.

Beispielfragen

  1. Die gemeinsamen Lösungen des Kreises (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 und die Parabel 2y = x2 - 4x + 4.

    (0, 2), (2, 0), (4, 2). Schreiben Sie die Gleichung der Parabel als 2y = (x - 2)2. Als nächstes ersetzen die (x- 2)2 Laufzeit in der ersten Gleichung mit 2y und vereinfachen: 2y + (y - 2)2 = 4- 2y + y2 - 4y + 4 = 4- y2 - 2y = 0.

    Faktor, der die Bedingungen auf der linken Seite zu erhalten y(y - 2) = 0. So, y = 0 oder y = 2. Vermietung und Verpachtung y = 0 in der Gleichung der Parabel, erhalten Sie 2 (0) = x2 - 4x + 4 bzw. 0 = (x - 2)2. Also, wenn y = 0 ist, x = 2 ist.

    Als nächstes wollen wir y = 2 in der Parabelgleichung. Sie erhalten 2 (2) = x2 - 4x + 4- 4 = x2 - 4x + 4- 0 = x2 - 4x. Factoring, 0 = x(x - 4), so x = 0 oder x = 4. Wenn y = 2 ist, x = 0 oder 4 ist.

  2. Die gemeinsamen Lösungen von x2 + y2 = 100, und y2 + 6x = 100.

    (0, 10), (0, -10), (6, 8), (6, -8). Die Lösung der zweiten Gleichung für y2, du erhältst y2 = 100-6x. Ersetze das y2 in der ersten Gleichung mit seinem Äquivalent zu erhalten x2 + 100-6x = 100.

    Vereinfachen und Factoring, wird die Gleichung x2 - 6x = x(x - 6) = 0, so dass x = 0 oder x = 6. Ersetzen x mit 0 in der Gleichung der Parabel, y2 = 100- y = +/- 10. Ersetzung x mit 6 in der Gleichung der Parabel, y2 + 36 = 100- y2 = 64- y = +/- 8.

Übungsfragen

  1. Die gemeinsamen Lösungen von x2 + y2 = 25 und x2 + 4y = 25.

  2. Die gemeinsamen Lösungen von x2 + y2 = 9 und 5x2 - 6y = 18.

Im Folgenden finden Sie Antworten auf die Fragen der Praxis:

  1. Die Antwort ist, (5, 0), (-5, 0), (3, 4), (-3, 4).

    Lösen Sie die zweite Gleichung für x2 (du erhältst x2 = 25-4y) Und ersetzen die x2 in der ersten Gleichung mit seinem Äquivalent. Die neue Gleichung lautet 25-4y + y2 = 25. Die Vereinfachung, Sie bekommen y2 - 4y = 0.

    Diese Gleichung Faktoren in y(y - 4) = 0. Die beiden Lösungen werden y = 0 und y = 4 in die zweite Gleichung, die Gleichung der Parabel, denn es hat nur einen eckigen Begriff (es untere Exponenten hat, so dass die Wahl dieser Gleichung können Sie fremde Lösungen vermeiden) Gehen Sie zurück.

    Ersetze das y in dieser Gleichung mit 0 zu erhalten x2 + 4 (0) = 25- x2 = 25. Diese Gleichung hat zwei Lösungen: x = 5 oder x = -5. Nun geht zurück und ersetzt die y mit 4 in der Gleichung der Parabel, x2 + 4 (4) = 25- x2 + 16 = 25- x2 = 9.

    Diese Gleichung hat auch zwei Lösungen: x = 3 oder x = -3. Paarung der y'S und deren jeweilige x'S, Sie bekommen die vier verschiedenen Lösungen. Der Kreis und Parabel schneiden sich in vier verschiedene Punkte.

  2. Die Antwort ist

    bild0.jpgimage1.jpg

    (0, -3).

    beseitigen Sie die x Begriffe: Multiplizieren Sie die Bedingungen der ersten Gleichung von -5 (die Sie gibt -5x2 - 5y2= -45) Und fügen Sie die beiden Gleichungen zusammen. Die resultierende Gleichung ist -5y2 - 6y = -27.

    Schreiben Sie die Gleichung, es gleich 0 ist, und Faktor einstellen. Sie erhalten 0 = 5y2 + 6y - 27 = (5y - 9) (y + 3). Verwenden des Multiplikations Eigenschaft von Null für die beiden Lösungen dieser Gleichung zu lösen. Ersetzen der y in der zweiten Gleichung (die Gleichung der Parabel) mit

    image2.jpg

    du erhältst

    image3.jpg

    Dann teilen Sie beide Seiten der Gleichung mit 5 und die Quadratwurzel von jeder Seite nehmen:

    image4.jpg

    Um die andere Lösung finden, lassen Sie die y in die Gleichung der Parabel bis -3 gleich sein. Sie erhalten 5x2 - 6 (-3) = 18- 5x2 + 18 = 18- 5x2 = 0. Also, x = 0. Der Kreis und Parabel schneiden oder berühren in drei verschiedenen Punkten.

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