Wie zu Differenzieren Inverse Funktionen
Es ist eine schwierige aussehende Formel, die Derivate von inversen Funktionen beteiligt, aber bevor Sie dazu kommen, sehen Sie die folgende Abbildung, die schön die ganze Idee fasst.
Diese Figur zeigt ein Paar von Umkehrfunktionen, f und G. Umkehrfunktionen symmetrisch in Bezug auf die Linie, y = x.Wie bei jedem Paar von Umkehrfunktionen, wenn der Punkt (10, 4) auf einer Funktion ist, (4, 10) auf ihrer Inversen. Und wegen der Symmetrie der Graphen können Sie sehen, dass die Steigungen an diesen Punkten reziproken sind:
Das ist, wie die Idee grafisch funktioniert.
Die algebraische Erklärung ist ein bisschen schwieriger, aber:
Schreiben Sie den Punkt (10, 4) f als (10, f (10)).
Drücken die Steigung an diesem Punkt (der der Ableitung) als
Schreiben Sie den Punkt (4, 10) auf G als (4, G (4)).
weil f (10) = 4, ersetzen Sie die 4s (4, G (4)) mit f (10) s.
Dies gibt Ihnen (f (10) G (f (10))).
Express die Steigung (die Ableitung) an dieser Stelle, wie
Diese schwierige aussehende Gleichung drückt nichts mehr und nichts weniger als die beiden Dreiecke auf den beiden Funktionen in der vorhergehenden Figur.
In Worten, diese Formel besagt, dass die Ableitung einer Funktion, f, in Gedenken an x, ist der Kehrwert der Ableitung der inversen bezüglich f.