Finden Genaue Bereiche unter Verwendung einer Kurve die Definite Integral

Wenn die Fläche unter einer Kurve annähert, unter Verwendung von links, rechts oder Mitte Rechtecke, die mehr Rechtecke Sie, desto besser ist die Annäherung verwenden. Also, "alle" Sie würden die genaue Fläche unter einer Kurve zu tun haben, zu erhalten, ist eine unendliche Anzahl von Rechtecke verwenden. Jetzt kann man nicht wirklich das tun, aber mit der fantastischen Erfindung von Grenzen, das ist eine Art, was passiert. Hier ist die Definition des bestimmten Integral, die genauen Bereiche zu berechnen verwendet wird.

Das bestimmte Integral ("einfach" Definition):Die genaue Fläche unter einer Kurve zwischen x = ein und x = b wird durch das bestimmte Integral gegeben, die als die Grenze eines Riemann Summe definiert:

Ist das eine Sache der Schönheit, oder was? Beachten Sie, dass diese Summierung (alles rechts von "lim") der Formel identisch ist für n rechts Rechtecke, R_n:

Der einzige Unterschied besteht darin, dass Sie die Grenze dieser Formel nehmen, wie die Anzahl der Rechtecke gegen unendlich

Diese Definition des bestimmten Integral ist die einfache Version auf der rechten Rechteck Formel basiert. Sie werden die Echt McCoy Definition in einem Moment zu sehen, aber da alle Riemann Summen für ein bestimmtes Problem die gleiche Grenze haben - mit anderen Worten, spielt es keine Rolle, welche Art von Rechtecke Sie verwenden - Sie auch das Recht nutzen könnten; Rechteck-Definition. Es ist die am wenigsten komplizierte und es wird immer ausreichen.

Hier ist die genaue Fläche unter f(x) = x²+ 1 zwischen x = 0 und x = 3:

Große Überraschung.

Dieses Ergebnis ist ziemlich erstaunlich, wenn man darüber nachdenkt. Mit dem Limit Prozess, erhalten Sie ein genau Antwort von 12 - Art wie 12,00000000 ... zu einer unendlichen Anzahl von Dezimalstellen - für den Bereich unter der glatten, geschwungenen Funktion f(x) = x²+ 1, bezogen auf die Bereiche abgeflachte Rechtecke, die entlang der Kurve in einem gezackten, Sägezahn Mode laufen.

Die Suche nach den genauen Bereich von 12 durch die Grenze eines Riemann Summe verwendet, ist eine Menge Arbeit (denken Sie daran, müssen Sie zunächst die Formel zu bestimmen, die für n rechts Rechtecke). Diese komplizierte Methode der Integration ist vergleichbar ein Derivat auf die harte Weise zu bestimmen, indem die formale Definition verwendet, die auf dem Differenzenquotient basiert.

Weil die Grenze aller Riemann Summen ist die gleiche, die Grenzen im Unendlichen von n links und Rechtecke n Mittelpunkt Rechtecke - für f(x) = x²+ 1 zwischen x = 0 und x = 3 - sollten Sie das gleiche Ergebnis wie die Grenze im Unendlichen geben von n rechts Rechtecke. Hier ist die linke Rechteck Grenze:

Und hier ist der Mittelpunkt Rechteck Grenze:

Wenn Sie etwas ungläubig sind, dass diese Grenzen geben Sie tatsächlich die genau Fläche unter f(x) = x²+ 1 zwischen 0 und 3, sind Sie nicht allein. Denn in diesen Grenzen, wie in allen Grenzprobleme, die Pfeil-Nummer

ist nur näherte- es ist nie wirklich erreicht. Und obendrein, was würde es bedeuten, Unendlichkeit zu erreichen? Sie können es nicht tun. Und unabhängig davon, wie viele Rechtecke Sie haben, haben Sie immer, dass gezackt, Sägezahn Rand. Wie also kann ein solches Verfahren geben Sie den genauen Bereich?

Betrachte es mal von dieser Seite. Werfen Sie einen Blick auf die nächsten zwei Zahlen.

f (x) = x² + 1. "/>

Sie können aus diesen Zahlen sagen, dass die Summe der Flächen der linken Rechtecke, unabhängig von ihrer Anzahl, wird immer eine sein unterSchätzung (dies ist der Fall für Funktionen, die über die Spanne in Frage steigen).

Und aus der folgenden Abbildung Sie, dass die Summe der Flächen der rechten Rechtecke sehen können, unabhängig davon, wie viele Sie haben, wird immer eine sein zu EndeSchätzung (für die Erhöhung Funktionen).

Also, da die Grenzen in der Unendlichkeit des underestimate und der Überhöhung bis 12 beide gleich sind, das muss die genaue Fläche sein. (Ein ähnliches Argument funktioniert Funktionen zur Verringerung.)

Alle Riemann Summen für ein gegebenes Problem die gleiche Grenze. Nicht nur sind die Grenzen in der Unendlichkeit von links, rechts und Mitte Rechtecke die gleiche für ein gegebenes Problem, die Grenze des Betrages Riemann auch gibt Ihnen die gleiche Antwort. Sie können eine Reihe von Rechtecken mit ungleichen haben widths- Sie eine Mischung aus nach links haben, rechts und Mitte rectangles- oder Sie können die Rechtecke konstruieren, so dass sie die Kurve irgendwo anders als auf der linken oder rechten oberen Ecken oder an den Mittelpunkten berühren von ihren Oberseiten. Das einzige, was zählt, ist, daß in der Begrenzung der Breite aller Rechtecke auf Null geht (und daraus folgt, daß die Anzahl der Rechtecke gegen unendlich). Das bringt Sie auf die folgende total extreme, down-and-dirty Integration Hokuspokus, die all diese Möglichkeiten berücksichtigt.

Das bestimmte Integral (Real-McCoy-Definition): Das bestimmte Integral von

ist die Nummer, zu der alle Riemann Summen neigen als die Breite aller Rechtecke auf Null gesetzt und als die Anzahl der Rechtecke gegen unendlich tendiert:

ist die Breite der ichth Rechteck und c_ich ist der x-Koordinate des Punktes, wo die ichth Rechteck berührt f (x). (Dass

einfach gewährleistet, dass die Breite aller Rechtecke sich Null nähert, und daß die Anzahl der Rechtecke gegen unendlich geht.)