Wie man ungefähre Fläche mit der Trapezregel
Mit der Trapezregel statt Bereich annähert, durch Rechtecke mit (wie Sie mit der linken tun, rechts und Mitte Rechteck Methoden), können Sie ungefähre Bereich mit - können Sie sich vorstellen? - Trapeze.
Aufgrund der Art, Trapezen die Kurve umarmen, sie geben Ihnen einen viel besseren Bereich Schätzung als entweder links oder rechts Rechtecke. Und es stellt sich heraus, daß eine trapez Näherung ist der Durchschnitt der linken und rechten Rechteck Rechteck Approximationen. Können Sie sehen, warum? (Hinweis: Die Fläche jedes Trapezes ist der Mittelwert der Flächen der beiden entsprechenden Rechtecke in der linken und rechten Rechteck Summen.)
Die folgende Abbildung zeigt drei Trapeze unter der Funktion gezogen x2 + 1.
Aus dem Blick von dieser Figur, könnte man ein Trapez Annäherung erwarten einen Mittelpunkt Rechteck Schätzung besser zu sein als, aber in der Tat, in der Regel sind Mittelpunkt Summen etwa doppelt so gut wie Trapez-Schätzungen.
Wenn Sie bereits die linken und rechten Rechteck Annäherungen für eine bestimmte Funktion und eine bestimmte Anzahl von Rechtecke ausgearbeitet, können Sie nur durchschnittlich ihnen die entsprechenden Trapez Schätzung zu erhalten (für dieses Problem, wissen Sie die Antwort, die Sie bekommen werden, (8 + 17) / 2 = 12,5). Wenn nicht, hier ist die Formel:
Die Trapezregel:
Für die Funktion in der obigen Abbildung mit drei Trapezen, hier ist die Mathematik:
Auch wenn die formale Definition des bestimmten Integral auf der Summe einer unendlichen Anzahl von Rechtecken basiert, möchten Sie vielleicht der Integration als die Grenze der Trapezregel im Unendlichen zu denken. Je weiter Sie zoomen auf einer Kurve die geradere wird es. Wenn Sie eine größere und größere Anzahl von Trapeze verwenden und dann Zoom auf, wo die Trapeze die Kurve berühren, erhalten die Spitzen der Trapeze der Kurve immer näher. Wenn Sie vergrößern # 147-unendlich, # 148- die Spitzen der # 147-unendlich viele # 148- Trapeze werden die Kurve und damit die Summe ihrer Flächen gibt Ihnen die genaue Fläche unter der Kurve. Dies ist eine gute Möglichkeit, darüber nachzudenken, warum die Integration der genaue Bereich produziert - und es macht Sinn, konzeptionell - aber es ist nicht wirklich so gemacht.