Wie man Sigma Notation Verwenden Sie die Fläche unter einer Kurve zu finden
Sie können Sigma-Notation verwenden, um die Riemannsche Summe für eine Kurve zu schreiben. Dies ist nützlich, wenn Sie die Formel für die ungefähre Fläche unter der Kurve ableiten wollen. Zum Beispiel, sagen, dass Sie den ungefähren Bereich finden wollen von n rechts Rechtecke zwischen x = 0 und x = 3 unter der Funktion f (x) = x2 + 1.
By the way, müssen Sie keine Sigma-Notation für die Mathematik, die folgt. Es ist nur ein "Convenience" - oh, sicher. Drücken Sie die Daumen und hoffen, dass Ihr Lehrer dies nicht zur Deckung entscheidet. Es wird ziemlich knorrigen.
Der Mittelpunkt der Regel: Sie können die exakte Fläche unter einer Kurve annähern zwischen ein und b,
mit einer Summe von midpoint Rechtecke durch die folgende Formel gegeben. Im Allgemeinen sind die mehr Rechtecke, desto besser ist die Schätzung.
woher n ist die Anzahl der Rechtecke,
ist die Breite jedes Rechtecks, x0 durch xn sind die n + 1 gleichmäßig voneinander entfernten Punkten aus ein nach b, und die Funktionswerte sind die Höhen der Rechtecke.
Die Anwendung der Mittelpunkt der Regel auf dieses Beispiel, erhalten Sie:
Hier ist die gleiche Formel mit Sigma-Notation geschrieben:
(Beachten Sie, dass Sie diese schreiben könnte stattdessen als
die mehr schön würde die obige Formel Spiegel, in dem die
ist an der Außenseite. So oder so ist in Ordnung - sie sind gleichwertig - aber Sie können wählen, die zu halten
auf der Innenseite, so dass die
Summe ist eigentlich eine Summe von Rechtecken. Mit anderen Worten, mit der
auf der Innenseite, der Ausdruck nach dem
Symbol,
die der
Symbol sagt Ihnen, zu addieren, ist die Fläche jedes Rechtecks, nämlich Höhe mal Base.)
Jetzt arbeiten diese in der Figur für die sechs rechten Rechtecke aus.
Sie herauszufinden, die Fläche unter x2+ 1 zwischen x = 0 und x = 3 mit sechs Rechtecke, so dass die Breite jedes,
Als nächstes wird, da die Breite jedes Rechtecks
die rechten Ränder der sechs Rechtecke fallen auf den ersten sechs Vielfachen von
Diese Zahlen sind x-Koordinaten der sechs Punkte x1 durch x6- sie können durch den folgenden Ausdruck erzeugt werden,
woher ich gleich 1 bis 6. Sie können überprüfen, dass dies durch 1 aufstecken für Arbeiten ich im
dann 2, dann 3, bis 6. So, jetzt können Sie die ersetzen xich in der Formel mit
dir geben
Die Funktion in diesem Beispiel
und so können Sie jetzt schreiben
Wenn Sie Stecker 1 in ich, 2 dann, dann 3, und so weiter bis zu 6 und die Mathematik zu tun, erhalten Sie die Summe der Flächen der Rechtecke in der Abbildung. Diese Sigma-Notation ist nur eine andere Art, die Summe der sechs Rechtecke zu schreiben.
Hast du Spaß? Halten Sie an, wird es noch schlimmer - sorry. Jetzt wirst du die allgemeine Summe für eine unbekannte Zahl zu schreiben, n, von rechts Rechtecke. Die Gesamtdauer der betreffenden Gebiet ist 3, nicht wahr? Sie teilen diese Spanne durch die Anzahl der Rechtecke, die Breite jedes Rechtecks zu erhalten. Mit 6 Rechtecke, ist die Breite von jedem
mit n Rechtecke, ist die Breite von jedem
Und die rechten Ränder der n Rechtecke werden erzeugt, indem
für ich gleich 1 durch n. Das gibt Ihnen
Oder, weil f (x) = x2 + 1,
Für diesen letzten Schritt, ziehen Sie die
durch die Summe der Symbole - Sie darf dies alles herausziehen, außer für eine Funktion ich, die sogenannte Index der Summierung. Auch weist die zweite Summierung im letzten Schritt nur 1, nachdem es und kein ich. Also gibt es nirgendwo in den Werten zu stopfen von ich. Diese Situation kann ein wenig seltsam erscheinen, aber alles, was Sie tun, ist, addieren Sie n 1s, die gleich n (Dies geschieht nächste).
Sie haben jetzt in einem kritischen Schritt angekommen. Mit einem Taschenspielertrick, wirst du diese Riemann Summe in eine Formel zu drehen in Bezug auf n.
Nun, da fast niemand weiß, um die Summe der ersten n Quadratzahlen,
(By the way, diese 6 hat nichts mit der Tatsache zu tun, dass Sie 6 Rechtecke verwenden.) Also, Sie diesen Ausdruck für die ersetzen kann
in der letzten Zeile der Sigma-Notation Lösung und zugleich Ersatz n für
Das Ende. Endlich! Dies ist die Formel für den Bereich der n rechts Rechtecke zwischen x = 0 und x = 3 unter der Funktion f (x) = x2 + 1.