Wie Integration Works: Es ist nur Fancy Zusatz

Die grundlegendste Bedeutung der Integration ist zu addieren. Und wenn Sie die Integration in einem Diagramm darstellen, können Sie das Hinzufügen von bis Prozess sehen, wie eine Zusammenfassung von dünnen rechteckigen Streifen der Fläche an der Gesamtfläche unter der Kurve zu kommen, wie es in dieser Figur gezeigt.

Sie können mit Hilfe dieses Integral den schraffierten Bereich in der obigen Abbildung zu berechnen:

(Beachten Sie, dass hier alles beinhaltet eindeutig Integration im Gegensatz zu unbestimmt Integration. Definite Integration ist, wo das langgestreckte S Integration Symbol hat Grenzen der Integration: die beiden kleinen Konstanten oder Zahlen an der Unterseite und der Oberseite des Symbols. der langgestreckte S ohne Grenzen der Integration zeigt ein unbestimmt Integral oder antiderivative.)

Schauen Sie sich die dünnen Rechteck in der Abbildung. Er hat eine Höhe von f(x) Und eine Breite von dx (ein kleines bisschen von x), So dass ihr Bereich (Länge mal Breite, natürlich) ist gegeben durch f(x) # 183- dx. Die obige Integral sagt Ihnen, die Bereiche aller schmalen rechteckigen Streifen zu addieren zwischen ein und b unter der Kurve f(x). Da die Streifen schmaler erhalten, erhalten Sie eine bessere und bessere Schätzung der Gegend. Die Macht der Integration liegt in der Tatsache, dass es gibt Ihnen die genau Fläche nach Art der Zugabe eine unendliche Anzahl von unendlich dünnen Rechtecke auf.

Unabhängig davon, was die winzigen Bits sind, dass Sie hinzufügen - sie kleine Stückchen Abstand oder Volumen oder Energie sein könnte (oder auch nur Bereich) - Sie können die Summe als Addition der Flächen der dünnen rechteckigen Streifen unter einer Kurve darstellen kann . Wenn die Einheiten sowohl auf die x und y Achsen Längeneinheiten sind, sagen, Füße, jeweils dünnes Rechteck misst dann so viele Füße von so vielen Füßen, und seine Umgebung - Länge mal Breite - eine gewisse Anzahl von square feet. In diesem Fall ist die Gesamtfläche aller Rechtecke zwischen ein und b gibt Ihnen eine Fläche Antwort (wenn auch nicht unbedingt die tatsächliche Fläche unter der Kurve, weil die Skala beispielsweise anders- kann, könnten die tatsächlichen schraffierte Fläche in der obigen Abbildung ein paar Quadratzoll ist, aber Ihre Antwort eine Reihe von sein Quadratmeilen wenn beide Achsen wurden in Meilen markiert). Der Punkt ist, dass in diesem Fall addieren sich Sie der Bereiche die Rechtecke von allen, und Sie erhalten eine Bereich Antworten. Üblicherweise wird jedoch, auch wenn Sie die Bereiche Rechtecke addieren, Ihre Antwort wird kein Bereich Antwort sein.

Sagen die Einheiten auf der x-Achse sind Stunden (t) und das y-Achse ist beschriftet in Meilen pro Stunde, dann, weil Preis mal Zeit gleich Entfernung, die Fläche jedes Rechteck stellt einen Betrag von Abstand und die Gesamtfläche gibt Ihnen die Gesamtstrecke während des gegebenen Zeitintervall gereist. Oder wenn die x-Achse wird in Stunden markiert (t) und das y-Achse in Kilowatt elektrischer Energie - in welchem ​​Fall der Kurve, f(t), Gibt als Funktion der Zeit des Stromverbrauchs - dann die Fläche jedes rechteckigen Streifen (Kilowatt mal Stunden) Eine Anzahl von Kilowattstunden Energie. In diesem Fall gibt die gesamte Fläche unter der Kurve Sie die Gesamtzahl der Kilowattstunden Energieverbrauch zwischen zwei Zeitpunkten.

Eine andere Möglichkeit ist durch die obige Lampe veranschaulicht. Sagen Sie bitte die Lautstärke der Lampenbasis berechnet werden soll. Die folgende Abbildung zeigt, wie Sie dies mit der Integration tun würde. In der graphischen Darstellung ist die Funktion EIN(x) Gibt die Querschnittsfläche eines dünnen pancake slice der Lampe als Funktion ihrer Höhe von der Unterseite der Lampe gemessen. Also dieser Zeit, die h-Achse ist beschriftet in Zoll (Das ist h wie in Höhe von der Unterseite der Lampe) und die y-Achse ist beschriftet in Quadratzoll, und somit jede dünne Rechteck hat eine Breite, gemessen in Zoll und eine Höhe in Quadratzoll gemessen. Seine Fläche stellt daher Zoll mal Quadratzoll, oder cubic inches Volumen.

Das Bereich des dünnen Rechteck in dieser Figur repräsentiert die Volumen der dünnen Pfannkuchen Scheibe der Lampe 5 Zoll vom Boden der Basis. Die gesamte schraffierte Fläche und damit das Volumen der Basis der Lampe wird durch das folgende Integral gegeben:

Volumen = (Querschnittsfläche) mal (Dicke)

Dies bedeutet, dass Sie die Volumina aller dünnen Pfannkuchen Scheiben von 0 bis 15 Zoll addieren sich (das heißt, von unten nach oben auf die Basis der Lampe), wobei jede Scheibe mit einem Volumen, gegeben durch EIN(h) (Dessen Querschnittsfläche) -mal AVW (Dessen Höhe oder Dicke).

Um es zusammenzufassen - das ist ein Wortspiel! - Der mathematische Ausdruck auf der rechten Seite von irgend einer bestimmten Integrations Symbol steht immer für ein bisschen etwas, und bedeutet einen solchen Ausdruck zu integrieren, die kleinen Stücke alle zwischen einigen Ausgangspunkt zu addieren und einem gewissen Endpunkt der Gesamt zwischen den beiden Punkten zu bestimmen, .