Das Finden der Bereich einer Fläche von Revolution
Die nette Sache über den Bereich einer Oberfläche der Revolution zu finden, ist, dass es eine Formel ist Sie verwenden können. Merken Sie es, und Sie sind auf halbem Weg gemacht.
Um den Bereich einer Rotationsfläche finden zwischen ein und b, Verwenden Sie die folgende Formel:
Diese Formel sieht lang und kompliziert, aber es macht mehr Sinn, wenn Sie eine Minute darüber nachzudenken verbringen. Das Integral wird aus zwei Teilen:
Die Bogenlänge Formel, welche die Länge entlang der Oberfläche misst,
Die Formel für den Umfang eines Kreises, der die Länge um die Oberfläche misst,
So Multiplikation ist, diese beiden Teile zusammen ähnlich wie Multiplikation Länge und Breite der Fläche eines Rechtecks zu finden. In der Tat ermöglicht die Formel Sie Oberfläche als eine unendliche Anzahl von kleinen Rechtecke zu messen.
Wenn Sie die Oberfläche der Revolution einer Funktion sind Mess f(x) Um die x-Achse, Ersatz r = f(x) In der Formel:
Angenommen, dass Sie den Bereich der Revolution zu suchen, die in dieser Figur gezeigt wird.
Um dieses Problem zu lösen, beachten Sie zunächst, dass für
So richten Sie das Problem wie folgt:
Um zu beginnen, vereinfachen das Problem ein wenig:
Sie können dieses Problem lösen, indem Sie die folgende Variablensubstitution mit:
Jetzt ersetzen u für 1+ 9x4 und
für x3 dx in die Gleichung:
Beachten Sie, dass Sie die Grenzen der Integration ändern: Wenn x = 0 ist, u = 1. Und wenn x = 1, u = 10.
Jetzt können Sie die Integration durchführen:
Schließlich bewerten das bestimmte Integral:
