Wie berechnen Bogenlänge mit Integration
Wenn Sie die Integration verwenden Bogenlänge zu berechnen, was du tust (Art) ist eine Länge der Kurve in verschwindend kleine Abschnitte unterteilt, die Länge der einzelnen kleinen Abschnitt herauszufinden, und dann all die kleinen Längen addieren. Die folgende Abbildung zeigt, wie jeder Abschnitt einer Kurve kann durch die Hypotenuse eines kleinen rechtwinkligen Dreiecks angenähert werden.
Sie können sich vorstellen, dass, wie Sie weiter vergrößern und weiter auf einer Kurve, die Kurve in immer mehr Abschnitte unterteilt, die sehr kleinen Bereiche erhalten straighter und geradere und die Hypotenuse der rechtwinkligen Dreiecke besser und besser die Kurve annähern. Deshalb - wenn dieser Prozess der Addition kleiner und kleiner Abschnitte an die Grenze genommen wird - Sie die genaue Länge der Kurve bekommen.
Also, alles, was Sie tun müssen, ist, addieren Sie alle Hypotenuse entlang der Kurve zwischen Start- und Zielpunkte. Die Längen der Schenkel jedes infinitesimal Dreiecks sind dx und dy, und damit die Länge der Hypotenuse - gegeben durch den Satz des Pythagoras - ist
So fügen sich alle Hypotenuse aus ein nach b entlang der Kurve, integrieren Sie einfach:
Aber zuerst mußt du diese ein wenig zwicken die Formel für die Lichtbogenlänge zu erzeugen.
Die Bogenlänge entlang einer Kurve, y=f(x), von ein nach b, wird durch das folgende Integral gegeben:
Der Ausdruck innerhalb dieses Integrals ist einfach die Länge eines repräsentativen Hypotenuse.
Versuchen Sie dieses: Was die Länge ist entlang
von x = 1 to x = 5?
Nehmen Sie die Ableitung der Funktion.
Stecken Sie diese in die Formel und zu integrieren.
(Sehen Sie, wie das funktioniert? Es ist die Vermutung-and-Check Integrationstechnik mit der Rückleistungsregel. Der 09.04 ist die zwicken Betrag, den Sie wegen des Koeffizienten 9/4 benötigen.)
Nun, wenn Sie sich jemals auf einer Straße finden mit der Form
und Ihre Odometer ist gebrochen, können Sie die genaue Länge des Laufwerks Figur. Ihre Freunde werden sehr beeindruckt - oder sehr besorgt.