Nonlinear Funktionen Angeben Geeignete: Die Probit und Logit-Modelle

Wenn Ihr Ergebnis von Interesse qualitative ist, verwenden Sie eine Dummy-abhängige Variable und schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis (Y

= 1) tritt Ihre ökonometrischen Modells. Obwohl OLS kann ein Modell zur Abschätzung mit einer qualitativen abhängigen Variablen verwendet werden, würde damit zu einem Fehler Begriff, der heteroskedastischen ist und nicht normalverteilt.

Das offensichtlichste Problem mit einem Dummy-abhängigen Variablen Modell Schätzung OLS ist, dass die vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten nicht innerhalb der [0,1] Intervall zu sein garantiert. OLS nicht vollständig geändert werden, dieses Problem zu lösen, weil Nicht-Linearität in Parameter erforderlich ist, um zu gewährleisten, dass alle vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten haben vernünftige Werte. Folglich muss eine alternative Spezifikation verwendet werden. Ökonometriker wählen entweder die Probit oder Logit-Funktion.

Mit einer Probit oder logit-Funktion werden die bedingten Wahrscheinlichkeiten nicht linear auf die unabhängige Variable bezogen (s). Darüber hinaus haben beide Funktionen die Charakteristik 0 und 1 nähert sich allmählich (asymptotisch), so dass die vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten sind immer sinnvoll.

Die Abbildung zeigt die bedingten Wahrscheinlichkeiten aus einer OLS (auch als lineare Wahrscheinlichkeitsmodell LPM bekannt), ein Probit und ein Logit-Modell.

Arbeiten aus der Standardnormal CDF: Das Probitmodell

Das Probitmodell basiert auf der Standard-Normal kumulative Dichtefunktion (CDF), die definiert ist als

woher Z ist eine standardisierte normale Variable und e ist die Basis des natürlichen Logarithmus (der Wert 2,71828...).

In einem Probitmodell ersetzt die Standard-Normal CDF die lineare Funktion, so dass Sie schätzen

Die Beta-Bedingungen nicht abgeschätzt werden OLS, so benötigen Sie eine Technik zu verwenden, bekannt als Maximum-Likelihood (ML).

Für jede gegebene X, das Probitmodell bietet die Z Wert für die Beobachtung. Die Standardnormal PDF oder CDF kann dann verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, Y = 1 für diese Beobachtung.

Die folgende Abbildung zeigt, wie über die Suche nach der Wahrscheinlichkeit für jede gegebene Beobachtung zu gehen.

Nach Schätzung kann ein Probit-Modell, die meisten ökonometrischen Software, um die vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten für alle Proben Beobachtungen berechnen.

Ausgehend aus der logistischen CDF: Die Logitmodell

Das Logit-Modell basiert auf der Logistik kumulative Dichtefunktion (CDF), definiert als

woher G eine logistische Zufallsvariable ist, und e ist die Basis des natürlichen Logarithmus (der Wert 2,71828...).

Die logistische Verteilung kann Ihnen nicht vertraut sein, aber es ist ähnlich wie bei einem Standard normal. Allerdings ist es weniger Dichte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert als eine Standardnormalverteilung. Die folgende Abbildung zeigt den Unterschied zwischen der Standard-Normal und die logistischen Verteilungen.

In einem Logit-Modell ersetzt die logistische CDF die lineare Funktion, so dass Sie schätzen

Hinweis: Sie können nicht OLS verwenden, um die betas- statt zu schätzen, können Sie die Maximum-Likelihood (ML) Technik zu verwenden.

Für jede gegebene X, das Logit-Modell liefert den Wert für die Beobachtung, dass mit der logistischen CDF verwendet werden können, um die Wahrscheinlichkeit zu finden, Y = 1 für diese Beobachtung.

Die folgende Abbildung zeigt, wie Sie die Wahrscheinlichkeit für jede gegebene Beobachtung finden.

Wenn Sie Ihre Logitmodell geschätzt, können Sie ökonometrischen Software wie STATA die vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten für alle Ihre Probe Beobachtungen zu berechnen.