Wie zu vereinfachen und die Split Schr & # 246-dinger Gleichung für Wasserstoff

In der Quantenphysik, müssen Sie möglicherweise zu vereinfachen und spaltete die Schr # 246-dinger Gleichung für Wasserstoff. Hier ist die übliche quantenmechanische Schr # 246-dinger Gleichung für das Wasserstoffatom:

Das Problem ist, dass Sie in Betracht nimmst den Abstand das Proton vom Zentrum der Masse des Atoms ist, so dass die Mathematik ist etwas chaotisch. Würde man davon ausgehen, dass das Proton stationär ist, und dass r_p= 0, brechen würde diese Gleichung auf die folgende unten, die viel leichter zu lösen ist:

Leider ist diese Gleichung nicht exakt, da sie die Bewegung des Protons ignoriert, so sehen Sie die mehr-vollständige Version der Gleichung in der Quantenmechanik Texte.

Um die üblichen Schr # 246-dinger Gleichung zu vereinfachen, schalten Sie auf Center-of-Masse-Koordinaten. Das Zentrum der Masse des Protons / Elektronensystem ist an diesem Ort:

Und der Vektor zwischen dem Elektron und Proton

r = r_e - r_p

unter Verwendung von Vektoren R und r Anstatt von r_e und r_p macht die Schr # 246-dinger Gleichung leichter zu lösen. Die Laplace für R ist

Und die Laplace für r ist

Wie können Sie betreffen

auf die übliche Gleichung des

Nachdem der Algebra absetzt, Sie bekommen

wobei M = m_e+ m_p die Gesamtmasse, und

genannt wird, die reduzierte Masse. Wenn legen Sie die Gleichungen für die Mitte der Masse, der Vektor zwischen dem Proton und dem Elektron, die Gesamtmasse zusammen, und m, dann ist die zeitunabhängige Schr # 246-dinger Gleichung wird wie folgt vor:

Dann, da die Vektoren, R und r, das Potential gegeben ist durch,

Die Schr # 246-dinger Gleichung dann wird

Das sieht einfacher - die wichtigste Verbesserung ist, dass Sie jetzt haben |r| im Nenner der Potentialenergieterm nicht |r_e - r_p|.

Da die Gleichung enthält Begriffe, die entweder R oder r aber nicht beide, zeigt die Form dieser Gleichung, daß es sich um eine trennbare Differentialgleichung ist. Und das bedeutet, dass Sie für eine Lösung der folgenden Form aussehen kann:

Setzt man die vorhergehende Gleichung in die ein, bevor es Sie folgende gibt:

Und Dividieren dieser Gleichung durch

gibt Ihnen

Gut gut gut. Diese Gleichung hat Begriffe, die entweder abhängig

aber nicht beide. Das bedeutet, dass Sie diese Gleichung trennen kann in zwei Gleichungen wie folgt (wobei die Gesamtenergie, E, E gleich_R + E_r):

Vermehrung

gibt Ihnen

und Multiplizieren

gibt Ihnen

Jetzt haben Sie zwei Schr # 246-dinger Gleichungen, die Sie unabhängig voneinander lösen können.