Übersetzen Sie die Schr & # 246-dinger Gleichung auf drei Dimensionen

In der Quantenphysik, können Sie die dreidimensionale Schr # 246-dinger Gleichung in drei eindimensionale Schr # 246-dinger Gleichungen brechen, um es einfacher 3D-Probleme zu lösen. In einer Dimension, die zeitabhängige Schr # 246-dinger Gleichung (mit dem Sie eine Wellenfunktion finden lässt) sieht wie folgt aus:

Und Sie können, dass in drei Dimensionen wie folgt verallgemeinern:

Mit Hilfe der Laplace-Operator, können Sie diese in eine kompaktere Form neu gefasst. Hier ist, was die Laplace wie folgt aussieht:

Und hier ist der 3D-Schr # 246-dinger Gleichung, die die Laplace mit:

Um diese Gleichung zu lösen, wenn das Potential mit der Zeit nicht verändern, brechen die zeitabhängige Teil der Wellenfunktion aus:

Hier,

ist die Lösung der zeitunabhängigen Schr # 246-dinger Gleichung und E die Energie:

So weit, ist es gut. Aber jetzt haben Sie in eine Wand laufen - den Ausdruck

im Allgemeinen ist sehr schwer zu behandeln, so ist die aktuelle Gleichung in der Regel sehr schwer zu lösen.

Also, was sollte man tun? Nun können Sie sich auf den Fall konzentrieren, in denen die Gleichung trennbar ist - das heißt, in dem Sie trennen kann die x, y, und z Abhängigkeit und die Lösung in jeder Dimension separat finden. Mit anderen Worten, in trennbare Fällen das Potential, V (x, y, z), Ist tatsächlich die Summe der x, y, und z Potenziale:

V (x, y, z) = V_x(x) + V_y(y) + V_z(z)

Jetzt können Sie brechen den Hamilton-Operator in

in drei Hamilitonians, H_x, H_y, und H_z:

woher

Wenn Sie die Hamilton-Aufteilung wie in

Sie können auch die Wellenfunktion aufzuteilen, die diese Gleichung löst. Insbesondere können Sie die Wellenfunktion in drei Teile zu brechen, eine für x, y, und z:

Wo X (x), Y (y) Und Z (z) Sind Funktionen der Koordinaten x, y, und z und sind nicht zu verwechseln mit den Positionsoperatoren. Diese Trennung der Wellenfunktion in drei Teile wird sich das Leben wesentlich einfacher machen, weil Sie jetzt den Hamilton-Operator in drei separaten Betreiber brechen können hinzugefügt zusammen:

E = E_x + E_y + E_z

So haben Sie nun drei unabhängige Schr # 246-dinger Gleichungen für die drei Dimensionen:

Dieses System unabhängiger Differentialgleichungen sieht viel leichter zu lösen als

Im Wesentlichen haben Sie die dreidimensionale Schr # 246-dinger Gleichung in drei eindimensionale Schr # 246-dinger Gleichungen gebrochen. Das macht 3D-Probleme handhabbar zu lösen.