So lösen Linear Systems Mit Substitution oder Eliminierung

Wenn lineare Systeme zu lösen, haben Sie zwei Methoden - Substitution oder Eliminierung - zur Verfügung, und die man wählen Sie das Problem abhängt. Wenn der Koeffizient jeder Variable 1 ist, was bedeutet, dass Sie leicht für sie in Bezug auf die anderen Variablen lösen kann, dann ist die Substitution eine sehr gute Wette. Wenn alle Koeffizienten etwas anderes sind als 1, dann können Sie Beseitigung verwenden, aber nur dann, wenn die Gleichungen addiert werden können, um eine der Variablen verschwinden.

Wie man lineare Systeme mit der Substitutionsmethode lösen

In dem Substitutionsmethode, Sie verwenden Sie eine Gleichung für eine Variable zu lösen und dann diesen Ausdruck in die andere Gleichung für die andere Variable zu lösen ersetzen. Um die einfachste Möglichkeit, für eine Variable mit einem Koeffizienten von 1 beginnen und lösen es. Sie müssen nur Begriffe, um addieren oder zu subtrahieren alles auf die andere Seite des Gleichheitszeichen zu bewegen, genauso wie Sie in der Regel für Variablen zu lösen tun würde. Auf diese Weise werden Sie nicht mit dem Koeffizienten zu teilen, wenn Sie zu lösen, was bedeutet, dass Sie keine Fraktionen haben (es sei denn, es gibt bereits Fraktionen zu beginnen).

Zum Beispiel: Angenommen, Sie ein Theater sind die Verwaltung und Sie müssen wissen, wie viele Erwachsene und Kinder in die Teilnahme an einer Show sind. Das Auditorium ist ausverkauft und enthält eine Mischung von Erwachsenen und Kindern. Die Tickets kosten $ 23,00 pro Person und $ 15,00 pro Kind. Wenn der Saal 250 Sitzplätze hat und die Gesamtticketeinnahmen für die Veranstaltung ist $ 4,846.00, wie viele Erwachsene und Kinder anwesend sind?

Um das Problem mit der Substitutionsmethode zu lösen, gehen Sie folgendermaßen vor:

1. Drücken die Wortproblem als ein System von Gleichungen.

   Sie möchten, wie viele Eintrittskarten für Erwachsene zu lösen (ein) Und Kindertickets (c) du hast verkauft. Wenn der Saal 250 Sitzplätze hat und war ausverkauft, die Summe der Eintrittskarten für Erwachsene und Kindertickets müssen 250 sein.

   Die Ticketpreise führen Sie auch auf die Einnahmen (oder aus Geld) von der Veranstaltung. Die Eintrittskarte für Erwachsene Preis multipliziert mit der Anzahl der anwesenden Erwachsenen lässt Sie wissen, wie viel Geld Sie von den Erwachsenen gemacht. Sie können mit dem Kind Karten die gleiche Berechnung tun. Die Summe dieser beiden Berechnungen muss das gesamte Ticketeinnahmen für die Veranstaltung.

   Hier ist, wie Sie das System von Gleichungen schreiben:

   

2. Lösen für eine der Variablen.

   Wählen Sie die Variable mit einem Koeffizienten von 1, wenn Sie können, da die Lösung für diese Variable einfach sein wird. In diesem Beispiel können Sie wählen, zu lösen ein in der ersten Gleichung. Um dies zu tun, subtrahieren c von beiden Seiten: ein = 250 - c.

3. Ersetzen Sie die Variable gelöst in die andere Gleichung.

   In diesem Beispiel lösen Sie ein in der ersten Gleichung. Sie nehmen diesen Wert (250 - c) Und in die andere Gleichung für substituieren ein. (Stellen Sie sicher, dass Sie nicht in die Gleichung Sie ersetzen Sie 1- in Schritt anderweitig verwendet, werden Sie sich im Kreis gehen.)

   Die zweite Gleichung sagt jetzt 23 (250 - c) + 15c = 4846.

4. Lösen für die unbekannte Variable.

   Sie verteilen die Nummer 23:

   5750 - 23c + 15c = 4846

   Und dann vereinfachen Sie:

   5750 - 8c = 4846, oder -8c = -904

   Damit c = 113. Insgesamt 113 Kinder nahmen an der Veranstaltung.

5. Ersetzen den Wert der unbekannten Variablen zu einer der ursprünglichen Gleichungen für die anderen unbekannten Variablen zu lösen.

   Wenn Sie 113 in die erste Gleichung Stecker für c, du erhältst ein + 113 = 250. Die Lösung dieser Gleichung, erhalten Sie ein = 137. Sie verkaufte insgesamt 137 Eintrittskarten für Erwachsene.

6. Überprüfen Sie Ihre Lösung.

   Wenn Sie stecken ein und c in die ursprünglichen Gleichungen sollten Sie zwei wahre Aussagen zu bekommen. Hat 137 + 113 = 250? Ja. Hat 23 (137) + 15 (113) = 4846? Tatsächlich.

Wie man lineare Systeme mit dem Eliminationsverfahren lösen

Wenn die Lösung Fraktionen ein System von zwei Gleichungen mit der Substitutionsmethode erweist sich als schwierig oder das System beinhaltet, ist die Beseitigung Methode, um Ihre nächste beste Option. In dem Eliminationsverfahren, Sie machen eine der Variablen selbst durch die Addition der beiden Gleichungen aufheben.

Manchmal muss man einen oder beide Gleichungen mit Konstanten zu multiplizieren die equations- diese Situation eintritt hinzuzufügen, wenn Sie nicht eine der Variablen eliminieren kann nur zusammen die beiden Gleichungen addieren. (Denken Sie daran, dass, um für eine Variable eliminiert werden, die Koeffizienten einer Variablen müssen Gegensätze sein.)

Zum Beispiel zeigen die folgenden Schritte, die Sie, wie dieses System zu lösen, indem sie den Prozess der Eliminierung unter Verwendung:

1. Umschreiben der Gleichungen, falls erforderlich, zu machen wie Variablen untereinander ausgerichtet sind.

   Die Reihenfolge der Variablen nicht Matter- nur sicherstellen, dass ähnliche Begriffe mit den gleichen Bedingungen von oben nach unten ausgerichtet sind. Die Gleichungen in diesem System haben die Variablen x und y reihen sich bereits:

   

2. Multiplizieren Sie die Gleichungen mit Konstanten einen Satz von Variablen Match-Koeffizienten zu machen.

   Erstens, lassen Sie die Top-Gleichung allein und multiplizieren Sie die untere Gleichung von 30 (um alle Nennern beseitigen). (Achten Sie darauf, diese Zahl zu jedem Begriff zu verteilen - auch auf der anderen Seite des Gleichheitszeichen). Andernfalls diesen Schritt gibt Ihnen die folgenden Gleichungen:

   

3. Fügen Sie die beiden Gleichungen.

   Sie haben jetzt -24y = -40.

4. Lösen Sie für die unbekannte Variable, die bleibt.

   

5. Ersetzen Sie den Wert der gefundenen Variablen in jeder Gleichung.

   In diesem Beispiel wird die erste Gleichung: 20x + 24 (5/3) = 10.

6. Lösen Sie für die endgültige unbekannte Variable.

   Sie am Ende mit x = -3/2.

7. Überprüfen Sie Ihre Lösungen.

   Überprüfen Sie immer Ihre Antwort, indem die Lösungen wieder in das ursprüngliche System anschließen. Diese check it out!

   20 (-3/2) + 24 (5/3) = -30 + 40 = 10

   Es klappt! Überprüfen Sie nun die andere Gleichung:

   

   Da beide Werte sind Lösungen für beide Gleichungen, die Lösung auf das System korrekt.