Wie Limits mit Funktionen arbeiten

Nicht jede Funktion bei jedem Wert definiert x. Rationale Funktionen, zum Beispiel, sind nicht definiert, wenn der Nenner der Funktion ist 0. Sie ein verwenden können Grenze (Was, wenn es vorhanden ist, stellt einen Wert dar, der die Funktion zu nähern neigt als die unabhängige Variable eine bestimmte Anzahl erreicht) in einer Funktion zu schauen, was es zu sehen würde tun, wenn es könnte.

Um dies zu tun, nehmen Sie einen Blick auf das Verhalten der Funktion als Variable x nähert sich dem nicht definierten Wert (e). Zum Beispiel wird diese Funktion nicht definiert auf x = 3:

Sie können sich die Werte von f(x) beim x = 2 ist, x = 2,9, x = 2.99, x = 2.999, und so weiter. Dann können Sie sich die Werte sehen von f(x) Erneut von der anderen Seite: x = 4, x = 3,1, x = 3,01, und so weiter. Alle diese Werte von f(x) Definiert, außer für x = 3 ist.

Um eine Grenze in Symbolen auszudrücken, schreiben Sie

die als "die Grenze zu lesen als x Ansätze c von f(x) ist L." L ist die Grenze, die Sie suchen. Für die Grenze einer Funktion zu bestehen, muss die linke Grenze und die rechte Grenze beide existieren und gleich:

• EIN linke Grenze von (x) Ist der Wert, f(x) Nähert, wenn x Ansätze n von Werten von weniger als c (Von links, der linken Seite der Grafik).

• EIN rechte Grenze von f(x) Ist die genaue opposite- es ist der Wert, f(x) Nähert, wenn x Ansätze c von Werten größer als c (Von rechts; der rechten Seite der Grafik).

Wenn, und nur dann, wenn die linke, Hand Grenze das Recht entspricht; Hand Grenze kann man sagen, dass die Funktion einen Grenzwert für diesen bestimmten Wert von c.

Mathematisch gesehen, würden Sie lassen f sein, eine Funktion und lassen c und L reelle Zahlen. Dann

genau dann, wenn

In der realen Welt Sprache bedeutet diese Einstellung, wenn Sie zwei Bleistifte nahm, eine in jeder Hand und begann entlang des Graphen der Funktion gleichermaßen verfolgt, die beiden Stifte müssen an einer Stelle in der Mitte treffen, um würde für die Grenze zu existieren. (Die Abbildung zeigt, dass, obwohl die Funktion nicht definiert ist, x = 3 ist, besteht die Grenze, x Ansätze 3.)

Für Funktionen, die sind gut verbunden, die Stifte treffen schließlich immer an einer bestimmten Stelle (in anderen Worten würde eine Grenze immer vorhanden sind). Aber manchmal tun sie nicht (wie Sie in der Abbildung sehen, wie x Ansätze -5). Die beliebte Einheitssprung ist definiert als f(x) = 0 für

und f(x) = 1for x > 0. Wenn Sie diese Funktion zeichnen, sehen Sie eine Einheitsschrittsprung an x = 0.