Das Loch Ausnahme für Kontinuität und Grenzen

Das Loch Ausnahme bildet die einzige Ausnahme von der Regel, die Kontinuität und die Grenzen Hand in Hand gehen, aber es ist ein enorm Ausnahme. Es ist auch ein wenig seltsam, dass die Kontinuität zu sagen und Grenzen gewöhnlich Hand in Hand gehen und darüber reden Ausnahme denn die Ausnahme ist der springende Punkt. Wenn Sie kommen bis zu ihm, ist die Ausnahme wichtiger als die Regel. Betrachten wir die beiden Funktionen, r und s, hier gezeigt.

Diese Funktionen haben Lücken an x= 2 und sind offensichtlich dort nicht kontinuierlich, sondern sie machen haben Grenzen x Ansätze 2. In jedem Fall entspricht die Grenze der Höhe des Lochs.

Das Loch Ausnahme: Der einzige Weg, eine Funktion, eine regelmäßige, zweiseitige Grenze haben kann, wo es nicht kontinuierlich ist, wo die Diskontinuität eine infinitesimale Loch in der Funktion ist.

Also beide Funktionen in der Figur haben die gleiche Grenze wie x Ansätze 2- die Grenze 4, und die Tatsachen ist, dass r(2) = 1 und s(2) ist nicht definiert sind irrelevant. Für beide Funktionen, wie x in Nullen auf 2 von beiden Seiten, nullt die Höhe der Funktion auf der Höhe des Lochs in - das ist die Grenze. Dies trägt zu wiederholen:

Die Grenze an einem Loch: Die Grenze an einem Loch ist die Höhe des Lochs.

"Das ist toll", denken Sie vielleicht. "Aber warum sollte mich das interessieren?" Nun, bleiben diese nur für eine Minute. Angenommen, Sie einen Ball fallen und Sie versuchen, ihre durchschnittliche Geschwindigkeit während der Null verstrichene Zeit zu berechnen. Dies würde Ihnen

weil

undefiniert ist, wäre das Ergebnis ein Loch in der Funktion sein. Funktionslöcher kommen oft über von der Unmöglichkeit der Null durch Null dividiert wird. Es ist diese Funktionen, wo die Grenze Prozess kritisch ist, und solche Funktionen stehen im Mittelpunkt der Bedeutung eines Derivats und Derivate sind im Herzen der Differentialrechnung.

Das Derivat-Loch-Verbindung: Ein Derivat ist immer mit den undefinierten Fraktion

und birgt immer die Grenze einer Funktion mit einem Loch.