Wie Limits verwenden Kontinuität zu ermitteln

Hier finden Sie über die Kontinuität für ein bisschen lernen, dann gehen Sie auf die Verbindung zwischen Kontinuität und Grenzen, und schließlich auf die formale Definition der Kontinuität weitergehen.

Der gesunde Menschenverstand Definition der Kontinuität

Kontinuität ist solch ein einfaches Konzept - wirklich. EIN kontinuierlich Funktion ist einfach eine Funktion ohne Lücken - eine Funktion, die Sie ohne dabei Ihren Bleistift vom Papier zeichnen. Betrachten Sie die vier Funktionen in dieser Figur.

Ob oder ob nicht eine Funktion stetig ist, ist fast immer offensichtlich. Die ersten beiden Funktionen in dieser Figur - f (x) und G(x) - Haben keine Lücken, so dass sie kontinuierlich. Die nächsten zwei - p(x) und q(x) - Lücken bei x = 3, so dass sie nicht kontinuierlich.

Das ist alles! Nun, nicht ganz. Die beiden Funktionen mit Lücken sind überall nicht kontinuierlich, sondern weil Sie Teile von ihnen ohne dabei Ihren Bleistift vom Papier zeichnen kann, kann man sagen, dass Teile dieser Funktionen stetig sind.

Und manchmal, eine Funktion ist überall stetig definiert ist. Eine solche Funktion wird beschrieben als kontinuierlich über ihre gesamte Domain, was bedeutet, daß seine Lücke oder Lücken auftreten, bei x-Werte, bei denen die Funktion nicht definiert ist. Die Funktion p(x) Kontinuierlich über seine gesamte domänen q(x), Andererseits ist über seine gesamte Domäne nicht kontinuierlich, weil sie nicht kontinuierlich ist, an x = 3, die in der Funktion der Domäne ist. Oft ist die wichtige Frage, ob eine Funktion zu einem bestimmten kontinuierlich ist x-Wert. Es sei denn, es besteht eine Lücke.

Alle Polynomfunktionen sind überall stetig. Alle rationalen Funktionen - eine rationale Funktion ist der Quotient aus zwei Polynomfunktionen - sind kontinuierlich über ihre gesamte Domains.

Die Kontinuität-Limit Verbindung

Mit einer großen Ausnahme (die Sie in einer Minute erhalten werden), die Kontinuität und die Grenzen gehen Hand in Hand. Betrachten wir zum Beispiel wieder Funktionen f, G, p, und q. Funktionen f und G kontinuierlich sind an x = 3, und sie haben beide Grenzen auf x = 3. Funktionen p und q, auf der anderen Seite sind nicht kontinuierlich an x = 3, und sie haben keine Grenzen bei x = 3. Die Ausnahme von der Regel betrifft Funktionen mit Löchern. Eigentlich, wenn Sie kommen bis zu ihm, ist die Ausnahme wichtiger als die Regel. Betrachten wir die beiden Funktionen in der folgenden Abbildung.

Diese Funktionen haben Lücken an x = 3und sind offensichtlich dort nicht durchgehend, aber sie haben Grenzen x Ansätze 3. In jedem Fall entspricht die Grenze der Höhe des Lochs. Eine unendlich kleine Loch in einer Funktion ist der einzige Ort, eine Funktion eine Grenze haben kann, wo sie nicht kontinuierlich ist.

Beide Funktionen in der Figur haben die gleiche Grenze wie x Ansätze 3- die Grenze 9, und die Tatsachen ist, dass r(3) = 2, und daß s(3) ist nicht definiert sind irrelevant. Für beide Funktionen, wie x in Nullen auf 3 von beiden Seiten, nullt die Höhe der Funktion auf der Höhe des Loches in - das ist die Grenze.

Die Grenze an einem Loch ist die Höhe eines Loches.

Formale Definition der Kontinuität

Eine Funktion f (x) Ist ein Punkt kontinuierlich an x = ein wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:

Genau wie bei der formalen Definition einer Grenze, ist die Definition der Kontinuität immer als 3-teilige Test vorgestellt, aber Bedingung 3 ist die einzige, die Sie über Grund zur Sorge, weil 1 und 2 in 3 gebaut werden Sie sich erinnern müssen, aber 3, diese Bedingung ist nicht erfüllt, wenn die linken und rechten Seiten der Gleichung sind beide undefiniert oder nicht existent.