Wie Graphen von Derivaten unterscheiden sich von Graphen von Funktionen
Wenn Sie beginnen, Graphen von Derivaten, können Sie sich leicht in das Denken von ihnen als reguläre Funktionen verfallen - aber sie sind es nicht. Glücklicherweise können Sie eine Menge über Funktionen und deren Derivate lernen, indem du ihre Graphen nebeneinander suchen und ihre wichtigsten Merkmale zu vergleichen. Nehmen wir zum Beispiel die Funktion, f (x) = 3x5 - 20x3.
Du wirst jetzt reisen entlang f von links nach rechts, Anhalten seiner Sehenswürdigkeiten und auch die Beobachtung zu beachten, was zu dem Graphen geschieht von
an den gleichen Stellen. Aber zuerst, überprüfen Sie die folgende (lang) Warnung aus.
Dies ist nicht die Funktion! Wie sehen Sie in der grafischen Darstellung von
in der Figur oder der graphischen Darstellung eines anderen Derivats, müssen Sie sich in das Gesicht jede Minute zu schlagen oder so, sich daran zu erinnern, dass "Dies ist der Derivat Ich betrachte, nicht die Funktion "Es ist leicht, Graphen von Derivaten für reguläre Funktionen zu verwechseln. Sie könnten zum Beispiel aussehen in einem Intervall, das auf dem Diagramm eines Derivats und fälschlicherweise steigen ist dem Schluss, dass die ursprüngliche Funktion muss auch im gleichen Intervall steigen werden - ein verständlicher Fehler.
Sie wissen, dass die erste Ableitung das gleiche wie Steigung ist. Also, wenn Sie das Diagramm der ersten Ableitung siehe steigen, können Sie denken: "Oh, die erste Ableitung (die Steigung) steigt, und wenn die Steigung nach oben geht, das ist wie ein Berg hinauf, so dass die ursprüngliche Funktion muss sein steigend." Das klingt vernünftig, weil, lose Sprechen, können Sie die vordere Seite eines Hügels als Steigung beschreiben, die zunehmende geht nach oben. Aber mathematisch gesprochen, hat die vordere Seite eines Hügels ein positiv Steigung, die nicht unbedingt ein steigend Steigung. Also, wo eine Funktion zunimmt, wird das Diagramm der Ableitung sein positiv, aber das Derivat Graph könnte sein, nach oben oder unten gehen.
Sagen Sie bitte einen Berg hinauf sind. Wie Sie die Spitze des Hügels nähern, wirst du noch oben, aber im allgemeinen die Steigung (Die Steilheit) wird nach unten. Es könnte 3 sein, dann 2, dann 1, und dann, an der Spitze des Hügels ist die Steigung Null. So ist die Steigung wird immer kleiner oder abnehmend, auch wenn Sie den Hügel sind Klettern oder steigend. In solchen Intervall ist der Graph der Funktion zunimmt, aber der Graph von dessen Derivat ist abnehmend. Verstanden?
Okay, lasst uns wieder auf die f und deren Ableitung in der Figur. Beginnend auf der linken und auf Reisen nach rechts, f erhöht, bis die lokalen max bei (-2, 64). Es geht nach oben, so dass seine Neigung ist positiv, aber f wird immer weniger und weniger steil, so seine Neigung ist abnehmend - die Steigung abnimmt, bis sie Null an der Spitze wird. Dies entspricht dem Diagramm von
(Die Steigung), die positiv (Weil es über die x-Achse), aber abnehmend wie es geht bis zu dem Punkt (2, 0). Lassen Sie uns Ihre gesamte Reise zusammenfassen entlang f und
mit der folgenden Liste von Regeln.
Ein steigend Intervall auf einer Funktion entspricht, die auf dem Graph von dessen Derivat mit einem Intervall, das ist positiv (oder Null für einen einzigen Punkt, wenn die Funktion eine horizontale Wendepunkt). Mit anderen Worten entspricht eine Funktion des zunehmenden Abstand des Derivats Diagramm mit einem Teil, der über dem ist, x-Achse (oder dass berührt die Achse für einen einzigen Punkt im Falle einer horizontalen Wendepunkt). Siehe Intervalle A und F in der Abbildung.
Ein Einheimischer max auf dem Graphen einer Funktion (wie (-2, 64) einem Null (ein x-intercept) auf einem Intervall des Graphen der Ableitung, der die Kreuze x-Achse gehen nach unten (Wie bei (2, 0)).
Auf einem Derivat Graph, Sie've erhielt ein m-Achse. Wenn Sie an verschiedenen Punkten auf der Ableitung Graph suchen, vergessen Sie nicht, dass die y-Koordinate eines Punktes, wie (2, 0), auf einem Graphen eines ersten Ableitung sagt man das Steigung der ursprünglichen Funktion, nicht seine Höhe. Denken Sie an die y-Achse auf der ersten Ableitung Graph wie der Steigung-Achse oder der m-Achs- Sie könnte auf der ersten Ableitung Graph der allgemeinen Punkte denken als Koordinaten (x, m).
EIN abnehmend Intervall auf einer Funktion entspricht a Negativ Intervall auf dem Graphen des Derivats (bzw. Null für einen einzigen Punkt, wenn die Funktion eine horizontale Wendepunkt). Das negative Intervall auf der Ableitung Graph ist unter dem x-Achse (oder im Falle eines horizontalen Wendepunkt, die Ableitung Graph berührt der x-Achse an einem einzigen Punkt). Siehe Intervalle B, C, D und E in der Figur (aber sie als einen einzigen Abschnitt betrachten), wo f geht aus dem lokalen max at (-2, 64) zum lokalen min bei (2, -64) den ganzen Weg nach unten und wo
zwischen negativ (-2, 0) und (2, 0), außer an dem Punkt (0, 0) auf
der dem Wendepunkt horizontal auf f.
Ein Einheimischer min auf der Graph einer Funktion auf eine Null entspricht (einem x-intercept) auf einem Intervall des Graphen der Ableitung, der die Kreuze x-Achse geht nach oben (wie bei (2, 0)).
Lassen Sie uns jetzt eine zweite Reise mitnehmen f seine Intervalle von Konkavität und seine Wendepunkte zu berücksichtigen. Zunächst betrachten Intervalle A und B in der Abbildung. Der Graph von f konkav nach unten ist - was das gleiche wie ein Mittel abnehmend Steigung - bis es zum Wendepunkt wird bei etwa (-1,4, 39,6).
So ist die graphische Darstellung von
nimmt ab bis es bei etwa anstößt (-1,4, -60). Diese Koordinaten Ihnen sagen, dass der Wendepunkt bei -1,4 auf f hat eine Neigung von -60. Man beachte, dass der Wendepunkt auf f um (-1.4, 39.6) ist der steilsten Punkt auf dieser Strecke von der Funktion, aber es hat die kleinste Steigung, weil seine Neigung eine größere ist Negativ als die Steigung an jedem anderen Punkt in der Nähe.
Zwischen (-1,4, 39.6) und dem nächsten Wendepunkt bei (0, 0), f konkav nach oben, die die gleiche Sache wie ein Mittel steigend Steigung. So der grafischen Darstellung von
erhöht sich von etwa -1,4 bis wo er trifft eine lokale max bei (0, 0). Siehe Intervall C in der Abbildung. Lassen Sie uns für einige weitere Regeln eine Pause diese Reise nehmen.
Eine konkave nach unten Intervall auf der Graph einer Funktion entspricht a abnehmend Intervall auf dem Graphen der Ableitung (Intervalle A, B und D in der Figur). Und eine konkave oben Intervall auf der Funktion entspricht ein steigend Intervall auf der Derivates (Intervalle C, E und F).
Ein Wendepunkt auf einer Funktion (mit Ausnahme einer vertikalen Wendepunkt, wo die Ableitung undefiniert ist) entspricht einer lokales Extremum auf dem Graphen der Ableitung. Ein Wendepunkt Minimum Neigung (in seiner Nachbarschaft) entspricht einer lokalen min auf dem Derivat Graph- einen Wendepunkt maximal Neigung (in seiner Nachbarschaft) entspricht einer lokalen max auf dem Derivat Graphen.
Fortsetzen der Reise, nach (0, 0), f bis zum Wendepunkt ist konkav nach unten etwa um (-1.4, 39.6) - das entspricht dem abnehmenden Abschnitt
von (0, 0) in seine min bei (1,4, -60) (Intervall D in der Figur). Endlich, f konkav ist, den Rest des Weges nach oben, was mit dem zunehmenden Abschnitt entspricht der
bei (1,4, -60) beginnen (Intervalle E und F in der Abbildung).
Nun, das ist ziemlich viel bringt Sie zum Ende der Straße. Hin und her zwischen den Graphen einer Funktion und sein Derivat kann sehr versuchen, auf den ersten. Wenn Ihr Kopf beginnt sich zu drehen, machen Sie eine Pause und kommen später wieder zu diesem Zeug.
Nun, schauen Sie noch einmal auf die Grafik des Derivats,
in der Figur als auch auf das Zeichen ein Graph der
in der folgenden Abbildung.
Dieses Zeichen Graph, weil es eine zweite Ableitung Zeichen Graph ist, trägt genau (na ja, fast genau) das gleiche Verhältnis zu der grafischen Darstellung von
als erste Ableitung Zeichen Graph Bären auf den Graphen einer regulären Funktion. Mit anderen Worten, Negativ Abständen auf dem Schild Diagramm in der Figur
zeigen Ihnen, wo der Graph
ist abnehmend- positiv Abständen auf dem Schild Graph
zeigen Ihnen, wo
ist steigend. Und Punkte, an denen die Vorzeichen von positiv zu negativ oder umgekehrt wechseln
zeigen Ihnen, wo
hat lokale Extrema.