Wie man einen Polynomial Expression zu Factor

In der Mathematik Faktorisierung

oder Factoring abgesehen eines Polynoms in ein Produkt von anderen kleineren Polynome ist das Brechen. Wenn Sie sich entscheiden, können Sie sich auf diese Faktoren miteinander multiplizieren, und Sie sollten das ursprüngliche Polynom (dies ist ein guter Weg, um zu überprüfen, sich auf Ihre Factoring Fähigkeiten) zu bekommen. Einen Satz von Faktoren ab, beispielsweise von 24 6 und 4, weil 6 mal 4 = 24. Wenn man ein Polynom haben, besteht eine Möglichkeit der Lösung ist es, sie in das Produkt zweier Binomen Faktor.

Sie haben mehrere Factoring-Optionen zur Auswahl, wenn Polynom Gleichungen gelöst werden:

• Für ein Polynom, egal wie viele Begriffe hat, überprüfen Sie immer ein größter gemeinsamer Teiler(GCF) zuerst. Wörtlich ist der größte gemeinsame Faktor der größte Ausdruck, der in allen Bedingungen zu gehen. das GCF verwenden ist wie rückwärts die distributive Eigenschaft zu tun.

• Wenn die Gleichung a trinomial - es hat drei Begriffe - Sie die Folie Methode zum Multiplizieren Binomen rückwärts verwenden können.

• Wenn es ein Binomial-, sucht Differenz von Quadraten, Differenz von Würfeln, oder die Summe der Würfel.

Schließlich, nachdem das Polynom voll berücksichtigt wird, können Sie den Nullprodukteigenschaft verwenden, um die Gleichung zu lösen.

Wenn ein Polynom nicht Faktor, es heißt Primzahl weil seine einzigen Faktoren sind 1 und sich selbst. Wenn Sie versucht haben, alle Factoring-Tricks in der Tasche (GCF, rückwärts FOIL, Differenz von Quadraten, und so weiter), und die quadratische Gleichung nicht Faktor wird, dann können Sie entweder den Platz ausfüllen oder die quadratische Formel verwenden, um die Gleichung zu lösen . Es ist deine Entscheidung. Man könnte sogar wählen, möglicherweise immer zu verwenden entweder den Platz oder quadratische Formel Abschluss (und das Factoring überspringen), um eine Gleichung zu lösen. Factoring kann manchmal schneller sein, weshalb es empfehlenswert, dass Sie es zuerst versuchen.

Standardformular für einen quadratischen Ausdruck (einfach eine quadratische Gleichung ohne das Gleichheitszeichen) ist der x-squared Begriff, gefolgt von der x Sicht durch die Konstante gefolgt - in anderen Worten,

Wenn Sie einen quadratischen Ausdruck gegeben sind, die nicht in der Standardform ist, umschreiben sie in Standardform der Grad setzen in absteigender Reihenfolge. Dies erleichtert Factoring (und manchmal sogar notwendig, um Faktor).

Immer der erste Schritt: Suchen Sie nach einer GCF

Egal, wie viele Begriffe ein Polynom hat, ist es immer wichtig für einen größten gemeinsamen Faktor (GCF) zuerst zu überprüfen. Wenn es eine GCF ist, wird es das Polynom viel einfacher, weil die Anzahl der Faktoren eines jeden Semesters machen Factoring niedriger sein wird (weil Sie eine oder mehrere von ihnen haben aus einkalkuliert!). Dies ist besonders wichtig, wenn der GCF eine Variable enthält.

Wenn Sie vergessen, diese GCF Faktor aus, dass Sie auch vergessen, eine Lösung zu finden, und das könnte man in mehr als einer Hinsicht mischen! Ohne diese Lösung, könnten Sie eine Wurzel, verpassen und dann könnte man mit einem falschen Diagramm für Ihre Polynom enden.

Um Faktor das Polynom

zum Beispiel, gehen Sie folgendermaßen vor:

1. Break down jeden Begriff in Primfaktoren.

   Dies erweitert den Ausdruck

   

2. Suchen Sie nach Faktoren, die in jedem einzelnen Begriff erscheinen die GCF zu bestimmen.

   In diesem Beispiel können Sie ein 2 und zwei sehen x'S in jedem Semester. Diese sind in der folgenden unterstrichen:

   

3. Faktor, der die GCF aus jedem Begriff vor den Klammern, und lassen Sie die Reste in den Klammern.

   Sie haben jetzt

   

4. Multiplizieren Sie aus, um jeden Begriff vereinfachen.

   Dies gibt Ihnen

   

5. Verteilen Sie sicherstellen, dass die GCF korrekt ist.

   

Einpacken: Die Folie Methode für trinomials

Nachdem Sie ein Polynom für eine GCF (unabhängig davon, ob es eine hatte oder nicht) überprüft haben, versuchen Sie es erneut zu Faktor. Sie können feststellen, dass es einfacher zu Faktor ist, nachdem der GCF aus einkalkuliert wurde. Die obige Polynom hatte zwei Faktoren ab:

Jedoch kann der zweite Faktor der Lage sein, wieder zu Faktor, weil es ein Trinom ist, und wenn dies der Fall werden Sie zwei weitere Faktoren, die beide Binomen sind.

Die meisten Lehrer zeigen die Vermutung-and-Check-Methode von Factoring, in dem Sie zwei Sätze von Klammern aufschreiben;

- und stecken buchstäblich in Vermutungen für die Faktoren zu sehen, ob alles funktioniert. Vielleicht wäre Ihre erste Vermutung für dieses Beispiel sein (3x - 2) (x - 1), aber wenn man diese aus vereitelte, würden Sie bekommen

und man müsste wieder zu erraten. Diese Vermutung-and-Check Methode ist looooooong und mühsam, am besten. In der Tat ist dies insbesondere quadratisch ist Primzahl, so konnte man den ganzen Tag lang erraten und überprüfen, und es wäre nie Faktor.

Wenn Sie in der Vor-Kalkül sind und Ihr Lehrer wird mit der Vermutung-and-Check-Methode von Factoring, die gerade nicht für Sie arbeiten, haben Sie auf die rechte Seite kommen. Das folgende Verfahren, die so genannte FOIL VerfahrenFactoring (manchmal auch als die Britische Methode), Arbeitet immer für trinomials und ist ein sehr hilfreiches Werkzeug, wenn Sie nicht Ihr Gehirn um wickeln kann Vermutung-and-Check Factoring. Wenn die Folie Methode versagt, wissen Sie sicher, dass die gegebenen quadratischen Primzahl ist.

Die Folie Methode des Factorings fordert Sie die Schritte, erforderlich Binomen zu vereiteln, nur rückwärts. Denken Sie daran, dass, wenn Sie Foil, multiplizieren Sie die ersten, außen, innen und Last Bedingungen zusammen. Dann kombinieren Sie eine ähnliche Begriffe, die in der Regel aus der Multiplikation von der äußeren und inneren Bedingungen kommen.

Beispielsweise zu Faktor

folge diesen Schritten:

1. Überprüfen Sie die GCF zuerst.

   Der Ausdruck

   

   nicht GCF, wenn Sie es brechen und es betrachten, nach den Schritten im letzten Abschnitt. Die Aufteilung sieht wie folgt aus:

   

   Keine Faktoren, die zu jedem Begriff üblich sind, so gibt es keine GCF. Das heißt, Sie erhalten auf den nächsten Schritt zu bewegen.

2. Multiplizieren Sie den quadratischen Term und den konstanten Term.

   Achten Sie auf die Zeichen, wenn Sie dies tun. In diesem Beispiel ist der quadratische Term

   

3. Notieren Sie alle Faktoren des Ergebnisses in Paaren.

   

4. -1x und 10x

5. 1x und -10x

6. -2x und 5x

7. 2x und -5x

8. Aus dieser Liste finden Sie das Paar, das den Koeffizienten des linearen Term zu erzeugen, ergänzt.

   Sie wollen das Paar, deren Summe 3x. Für dieses Problem ist-2 die Antwortx und 5x weil

   

9. Break up der lineare Term in zwei Begriffe, mit den Zahlen von Schritt 4 als Koeffizienten.

   Ausgeschrieben, haben Sie jetzt

   

   Es macht das Leben leichter auf lange Sicht, wenn Sie immer zuerst den linearen Term mit dem kleinsten Koeffizienten arrangieren. Deshalb sollten Sie die setzen -2x vor dem +5x.

10. Gruppe die vier Begriffe in zwei Sätze von zwei.

    Setzen Sie immer ein Pluszeichen zwischen den beiden Sätzen:

    

11. Finden Sie die GCF für jeden Satz und Faktor it out.

    Schauen Sie sich die ersten beiden Bedingungen. Was sie gemeinsam haben? Ein x. Wenn Sie Faktor aus der x, du hast x(x - 2). Nun, schauen Sie sich die letzten beiden Begriffe. Sie teilen sich eine 5. Wenn Sie die 5-Faktor aus, haben Sie 5 (x - 2). Das Polynom wird jetzt geschrieben als x(x - 2) + 5 (x - 2).

12. Finden Sie die GCF der beiden neuen Bedingungen.

    Sehen Sie, die (x - 2) in beiden Begriffen? Sie sind hier unterstrichen: x(x - 2) + 5(x - 2). Das ist eine GCF, weil es in beiden Begriffen erscheint (wenn Sie diese Methode Faktor verwendet wird, sollte der letzte Schritt aussehen immer so). Factor aus den GCF von beiden Bedingungen (es ist immer der Ausdruck in den Klammern) an die front- Sie erhalten (x - 2) (). Wenn Sie es ausklammern, die Begriffe, die nicht die GCF sind in den neuen Klammern links. In diesem Fall erhalten Sie (x - 2) (x + 5). Das (x + 5) ist die Überbleibsel von der Einnahme des GCF entfernt.

Manchmal hat das Zeichen in Schritt 6 zu ändern, um richtig zu den GCF ausklammern. Aber wenn Sie nicht mit einem Pluszeichen zwischen den beiden Sätzen beginnen, können Sie ein negatives Vorzeichen müssen Sie verlieren den ganzen Weg zu Faktor. Beispielsweise in factoring

Sie am Ende in Schritt 5 mit dem folgenden Polynom bis:

Factor aus der x im ersten Satz und dem 4 im zweiten Satz zu erhalten x(x - 9) 4 + (-x + 9). Beachten Sie, dass der zweite Satz das genaue Gegenteil von dem ersten ist? Damit Sie mit dem nächsten Schritt zu bewegen, müssen die Sätze genau übereinstimmen. Um dies zu beheben, ändern Sie die 4 in der Mitte bis -4 und erhalten x(x - 9) - 4 (x - 9). Jetzt, wo sie übereinstimmen, können Sie wieder Faktor.

Wenn Sie alle Schritte in der vorherigen Liste folgen, werden Sie eine einfache Zeit mit Factoring trinomials haben. Selbst wenn ein Ausdruck eine führende Koeffizient neben 1 hat, arbeitet die FOIL Verfahren noch. Der Affe Schraubenschlüssel kommt nur, wenn es keine Faktoren in Schritt 2, die fügen Sie den linearen Koeffizienten zu geben. In diesem Fall ist die Antwort prime.