Wie Polynomials in Graph Wenn die Wurzeln Imaginäre Zahlen sind - ein Überblick

In Pre-Kalkül und in der Infinitesimalrechnung, bestimmte Polynomfunktionen haben nicht reelle Wurzeln neben echten Wurzeln (und einige der komplizierteren Funktionen haben alle imaginäre Wurzeln). Wenn Sie beide finden müssen, fangen damit an, die wirklichen Wurzeln zu finden, Techniken wie synthetische Division verwenden. Wenn Sie Glück haben, sind Sie mit einem depressiven quadratische Polynom links zu lösen, das ist unlösbares reelle Zahl Antworten verwenden. Keine Angst! Sie müssen nur die quadratische Formel zu verwenden, durch die man mit einer negativen Zahl unter dem Wurzelzeichen am Ende dann. Daher äußern Sie die Antwort als eine komplexe Zahl.

Zum Beispiel das Polynom G(x) = x⁴ + x³ - 3x² + 7x - 6 hat nicht reale Wurzeln. Führen Sie die folgenden grundlegenden Schritte zu finden alle die Wurzeln für diese (oder überhaupt) Polynom:

1. Klassifizieren Sie die wirklichen Wurzeln als positive und negative von Descartes 'Herrschaft der Zeichen verwenden.

   Drei Vorzeichenwechsel in der G(x) Funktion zeigt Ihnen drei oder eine positive reelle Wurzel haben könnte. Ein Vorzeichenwechsel in der G(-x) Funktion zeigt, dass Sie eine negative reale Wurzel haben.

2. Finden Sie, wie viele Wurzeln möglicherweise imaginär sind durch den Fundamentalsatz der Algebra.

   Der Satz zeigt, dass in diesem Fall bis zu vier imaginäre Wurzeln existieren. diese Tatsache mit Descartes 'Herrschaft der Zeichen Kombination gibt Ihnen mehrere Möglichkeiten:

3. Eine echte positive Wurzel und ein echtes negative Wurzel bedeutet, dass zwei Wurzeln nicht real sind.

4. Drei echte positive Wurzeln und eine echte negative Wurzel bedeutet, dass alle Wurzeln real sind.

5. Liste der möglichen rationalen Wurzeln, mit der rationalen Wurzel Theorem.

   Die möglichen rationalen Wurzeln umfassen

   

6. Bestimmen Sie die rationalen Wurzeln (falls vorhanden), synthetische Division verwenden.

   Unter Verwendung der Regeln der synthetischen Division, Sie feststellen, dass x = 1 eine Wurzel und dass x = -3 Ist eine weitere Wurzel. Diese Wurzeln sind die einzigen wirklichen.

7. Verwenden Sie die quadratische Formel die gedrückte Polynom zu lösen.

   fanden alle wirklichen Wurzeln des Polynom, teilen Sie die ursprüngliche Polynom von x-1 und das resultierende Polynom von x + 3 die gedrückte Polynom zu erhalten x² - x + 2. Da dieser Ausdruck quadratisch ist, können Sie mit der Quadratformel für die letzten zwei Wurzeln zu lösen. In diesem Fall erhalten Sie

   

8. Graphische Darstellung der Ergebnisse.

   
   Graphische Darstellung des Polynoms G(x) = x⁴ + x³ - 3x² + 7x - 6.

   Der führende Koeffizient Test zeigt, dass die Kurve in beiden Richtungen nach oben zeigt. Die Intervalle sind die folgenden:

   

   Die vorangehende Abbildung zeigt den Graph dieser Funktion.