Wie zu erraten und Real Roots Der Check - 2 - Testen Roots durch Division Polynomials Mit Lange Abteilung
Sobald Sie die rationale Wurzel Theorem verwendet haben, um eine Liste aller possiblerational Wurzeln jedes Polynom, ist der nächste Schritt, um die Wurzeln zu testen. Eine Möglichkeit ist, lange Polynomdivision zu verwenden, und hoffen, dass, wenn Sie teilen Sie einen Rest von 0. erhalten Sobald Sie eine Liste der möglichen rationalen Wurzeln haben, können Sie dann eine auswählen und davon ausgehen, dass es sich um eine Wurzel ist.
Betrachten wir zum Beispiel die Gleichung f(x) = 2x4 - 9x3 - 21x2 + 88x + 48, die die folgenden möglichen rationalen Wurzeln hat:
Ob x = c ist eine Wurzel, dann x - c ein Faktor ist. Also, wenn Sie holen x = 2 als Ihre Vermutung für die Wurzel, x - 2 sollte ein Faktor sein. Sie können lange Teilung verwenden, um zu testen, ob x - 2 ist tatsächlich ein Faktor, und daher x = 2 ist eine Wurzel.
Dividing Polynome eine konkrete Antwort zu bekommen, ist nicht etwas, was Sie jeden Tag tun, aber die Idee einer Funktion oder Ausdruck, der als Quotient zweier Polynome geschrieben ist wichtig für die Pre-Kalkül. Wenn Sie ein Polynom von einem anderen teilen und einen Rest von 0 zu erhalten, ist der Divisor ein Faktor, der wiederum eine Wurzel gibt.
In der Mathematik-Jargon heißt es in der Divisionsalgorithmus der folgende: Wenn f(x) und d(x) Polynome, so dass d(x) Nicht gleich 0 ist, und der Grad der d(x) Nicht größer als der Grad der f(x), Gibt es einzigartige Polynome q(x) und r(x)so dass
Im Klartext entspricht die Dividende der Divisor mal der Quotient und der Rest. Sie können jederzeit Ihre Ergebnisse überprüfen, indem Sie diese Informationen zu erinnern.
Denken Sie daran, die mnemotechnischenDirty Monkeys SMell BAnzeige, wenn dabei lange Teilung Ihre Wurzeln zu überprüfen. Stellen Sie sicher, dass alle Begriffe in der Polynom aufgeführt sind in absteigender Reihenfolge und dass jeder Grad dargestellt wird. In anderen Worten, wenn x2 in einem Platzhalter setzen von 0 fehlt,x2 und führen Sie dann die Teilung. (Dieser Schritt ist nur der Teilungsprozess leichter zu machen.)
Um zwei Polynome teilen, gehen Sie folgendermaßen vor:
Divide.
Teilen Sie die führende Begriff der Dividende von der führenden Laufzeit des Teilers. Notieren Sie sich diesen Quotienten direkt über dem Begriff, den Sie gerade in geteilt.
Multiply.
Multiplizieren Sie den Quotienten Begriff aus Schritt 1 durch den gesamten Divisor. Notieren Sie sich diese Polynom unter der Dividende, so dass gleiche Bedingungen aufgereiht sind.
Subtract.
Ziehen Sie die ganze Zeile, die Sie gerade von der Dividende schrieb.
Sie können alle Zeichen ändern und hinzufügen, wenn es macht Sie fühlen sich wohler. Auf diese Weise werden Sie nicht Zeichen vergessen.
BRing der nächsten Wahlperiode nach unten.
genau das tun, was diese sagt- den nächsten Begriff der Dividende bringen.
Wiederholen Sie die Schritte 1-4 immer wieder, bis der Rest Polynom einen Grad hat, die kleiner ist als die Dividende der.
In der folgenden Liste wird erklärt, wie 2 zu teilenx4 - 9x3 - 21x2 + 88x + 48 durch x - 2. Jeder Schritt entspricht dem nummerierten Schritt in der Darstellung in dieser Figur.
(Beachten Sie, dass der Zeichen mit Descartes 'Regel, Sie feststellen, dass dieses Beispiel positive Wurzeln haben kann, so ist es effizienter hier eine positive Zahl zu versuchen. Wenn Descartes Herrschaft der Zeichen gesagt hatte, dass keine positiven Wurzeln bestanden, würden Sie testen, keine positive !)
Divide.
Was haben Sie zu multiplizieren x indem sie sie in den Divisor zum 2 werdenx4 der Dividende? Der Quotient, 2x3, geht über die 2x4 Begriff.
Multiply.
Multiplizieren Sie diesen Quotienten durch den Divisor und schreiben Sie es unter der Dividende.
Subtract.
Subtrahieren Sie diese Zeile aus der Dividende: (2x4 - 9x3) - (2x4 - 4x3) = -5x3. Wenn Sie den Job richtig gemacht haben, erzeugt die Subtraktion der ersten Glieder immer 0.
BRing nach unten.
Bringen Sie die anderen Bedingungen der Dividende nach unten.
Divide.
Was haben Sie zu multiplizieren x indem sie sie zu machen -5x3? Setzen Sie die Antwort, -5x2, oberhalb der -21x2.
Multiply.
Multiplizieren Sie die -5x2 mal dem x - 2 zu erhalten -5x3 + 10x2. Schreiben Sie es unter der Rest mit den Graden aufgereiht.
Subtract.
Sie haben jetzt (-5x3 - 21x2) - (-5x3 + 10x2) = -31x2.
BRing nach unten.
Die +88x nimmt seinen Platz.
Divide.
Was zu multiplizieren zu machen x werden -31x2? Der Quotient -31x geht über -21x2.
Multiply.
Der Wert -31x Zeiten (x - 2) -31x2 + 62x- schreiben sie unter dem Rest.
Subtract.
Sie haben jetzt (-31x2 + 88x) - (-31x2 + 62x), Die 26x.
BRing nach unten.
Die 48 kommt nach unten.
Divide.
Der Begriff 26x geteilt durch x ist 26. Diese Antwort auf geht.
Multiply.
Die Konstante 26 multipliziert mit (x - 2) 26x - 52.
Subtract.
Sie subtrahieren (26x + 48) - (26x - 52) zu erhalten 100.
Soben.
Der Rest 100 hat einen Abschluss, der weniger ist als der Divisor von x - 2.
Beeindruckend . . . Jetzt wissen Sie, warum sie es nennen lange Aufteilung. Sie ging durch, dass alle zu erfahren, dass x - 2 ist kein Faktor des Polynoms, was bedeutet, dass x = 2 ist keine Wurzel.
Wenn Sie teilen, indem er c und der Rest 0 ist, dann wird der lineare Ausdruck (x - c) Ein Faktor ist, und dass c ist eine Wurzel. Ein Rest ungleich 0 bedeutet, dass (x - c) Ist kein Faktor, und dass c ist keine Wurzel.