Wie zu erraten und Real Roots Der Check - 3 - Test Roots durch Division Polynomials synthetische Division Mit

Sobald Sie die rationale Wurzel Theorem verwendet haben, um eine Liste aller possiblerational Wurzeln jedes Polynom, ist der nächste Schritt, um die Wurzeln zu testen. Eine Möglichkeit ist, synthetische Division zu verwenden. Synthetische Division ist eine Abkürzung für lange Polynomdivision. Es ist ein besonderer Fall der Teilung, wenn der Divisor einen linearen Faktor von der Form x + c, woher c eine Konstante ist.

Leider funktioniert die Verknüpfung nur dann, wenn der Divisor (x + c) Ist ein First-Grad binomischen mit einem führenden Koeffizienten von 1 (Sie immer es 1 zunächst durch Division alles durch den führenden Koeffizienten machen kann). Zum Glück kann man immer synthetische Division verwenden, um herauszufinden, ob eine mögliche Wurzel tatsächlich eine Wurzel ist.

Hier sind die allgemeinen Schritte für synthetische Division:

1. Stellen Sie sicher, dass das Polynom in absteigender Reihenfolge geschrieben wird.

   Der Begriff mit dem höchsten Exponenten an erster Stelle.

2. Notieren Sie sich die Koeffizienten nach unten und die Konstante des Polynom von links nach rechts, in Nullform Bedingungen eines Füllgrad, die Missing-Platz sind die Wurzel Sie außerhalb des synthetischen Divisionszeichen zu testen sind.

   Das Divisionszeichen sieht aus wie die linken und unteren Rand eines Rechtecks. Lassen Sie Platz unter den Koeffizienten eine weitere Reihe von Zahlen zu schreiben.

3. Lassen Sie den ersten Koeffizienten unterhalb der Divisionszeichen nach unten.

4. Multiplizieren Sie die Wurzel Sie durch die Anzahl Testen Sie einfach fallen gelassen unten und schreiben Sie die Antwort unter dem nächsten Koeffizienten.

5. In den Koeffizienten und Produkt von Schritt 4 und stellen die Antwort unterhalb der Linie.

6. Multiplizieren Sie die Wurzel Sie testen durch die Antwort von Schritt 5 und setzen das Produkt unter dem nächsten Koeffizienten.

7. Weiter multipliziert und das Hinzufügen, bis Sie die letzte Nummer in der synthetischen Divisionszeichen verwenden.

   Wenn Sie einen Rest zu erhalten, testeten die Nummer, die Sie ist keine Wurzel.

   Wenn die Antwort 0, herzlichen Glückwunsch! Sie haben eine Wurzel gefunden. Die Zahlen unter den synthetischen Divisionszeichen sind die Koeffizienten des Quotient-Polynoms. Der Grad dieses Polynoms ist eine weniger als das Original (die Dividende), so ist der Exponent auf der ersten x Begriff sollte man weniger als das, was Sie begann mit.

Sagen Sie, dass Sie die Wurzeln für die Gleichung zu testen, f(x) = 2x⁴ - 9x³ - 21x² + 88x + 48, und Sie haben beseitigt x = 2 durch lange Division mit, so dass Sie wissen nicht, dass es zu starten. So entscheiden Sie, synthetische Division zu tun, wie in der Abbildung dargestellt für x = 4 ist.

Die 4 auf der Außenseite in der Figur ist die Wurzel Sie testen. Die Zahlen auf der Innenseite sind die Koeffizienten des Polynoms. Hier ist das Syntheseverfahren, Schritt für Schritt:

1. Die 2 unterhalb der Linie fällt nur oberhalb von der Linie nach unten.

2. Multiplizieren Sie 4 mit 2 bis 8 erhalten und schreiben, dass im Rahmen der nächsten Wahlperiode, -9.

3. In -9 + 8 zu erhalten -1.

4. Multiplizieren 4 mit -1 -4 zu erhalten, und schreiben, dass unter der -21.

5. In -21 + -4 bis -25 erhalten.

6. Multiplizieren 4 mit -25 -100 zu erhalten, und schreiben Sie, dass unter 88.

7. In 88 bis -100 bis -12 erhalten.

8. Multiplizieren 4 mit -12 -48 zu erhalten, und schreiben Sie, dass unter 48.

9. In 48 bis -48 bis 0 erhalten.

Alles, was Sie tun, multiplizieren und fügen Sie, weshalb synthetische Division die Abkürzung ist. Die letzte Zahl, 0, ist der Rest. Da Sie einen Rest von 0 erhalten, x = 4 ist eine Wurzel.

Die anderen Nummern sind die Koeffizienten des Quotienten, um von dem höchsten Grad an die am wenigsten jedoch der Quotient immer ein Grad niedriger ist als der Grad des ursprünglichen Polynoms ist. So ist der Quotient in diesem Beispiel 2x³ - x² - 25x - 12.

Jedes Mal, wenn eine Wurzel funktioniert, sollten Sie immer automatisch geprüft wieder in der Antwort Quotienten zu sehen, ob es sich um eine doppelte Wurzel ist, mit dem gleichen Verfahren. EIN doppelte Wurzel tritt auf, wenn ein Faktor, der eine Vielzahl von zwei aufweist. Eine doppelte Wurzel ist ein Beispiel für Vielfalt. Sie testen x = 4 wieder, wie in der Figur gezeigt.

Whaddya wissen? Sie erhalten einen Rest von 0 wieder, so x = 4 ist eine doppelte Wurzel. (In der Mathematik ausgedrückt, sagen Sie, dass x = 4 ist eine Wurzel mit Vielzahl von zwei.aber) Sie haben es noch einmal zu überprüfen, um zu sehen, ob es eine höhere Vielfalt hat. Wenn Sie synthetisch divide x = 4 ein weiteres Mal, funktioniert es nicht. Die nächste Abbildung zeigt diesen Fehler. Weil der Rest nicht 0 ist, x = 4 ist keine Wurzel erneut.

Arbeiten Sie immer die neueste Quotient bei der Verwendung von synthetischen abteilen. Auf diese Weise wird der Grad tiefer und tiefer, bis Sie mit einem quadratischen Ausdruck am Ende, oder bis Sie alle möglichen rationalen Wurzeln ausgeschöpft. Wenn ein quadratischer Ausdruck bleibt, können Sie die quadratische lösen durch Techniken wie Factoring, die Vollendung des Quadrats oder die quadratische Formel.

Bevor Sie getestet x = 4 ein letztes Mal, das Polynom (genannt deprimiert Polynom) War bis auf eine quadratische: 2x² + 7x + 3. Wenn Sie diesen Ausdruck Faktor, erhalten Sie (2x + 1) (x + 3). Dies gibt Ihnen zwei weitere Wurzeln von -1/2 und -3. Um es zusammenzufassen, haben Sie gefunden x = 4 (Vielzahl zwei), x = -1/2, Und x = -3. Sie fanden vier komplexe Wurzeln - zwei von ihnen sind negativ reellen Zahlen, und zwei von ihnen sind positive reelle Zahlen.

Das Restsatz sagt, dass der Rest Sie, wenn youdivide ein Polynom durch eine binomische bekommen das gleiche wie das Ergebnis, das Sie verstopfen die Zahl in das Polynom erhalten ist. Zum Beispiel, wenn Sie lange Teilung verwendet zu teilen durch x - 2 wurden Testen Sie, ob x = 2 ist eine Wurzel. Sie könnten synthetische Division verwendet haben, dies zu tun, weil Sie immer noch einen Rest von 100 erhalten Und wenn Sie Stecker 2 in f(x) = 2x⁴ - 9x³ - 21x² + 88x + 48, Sie erhalten auch 100.