Wie Integrieren von Odd Powers von Sinus und Cosinus

Sie können integrieren irgendein Funktion der Form sin^m x cosⁿ x wann m ungerade ist, für jeden realen Wert der n. Für dieses Verfahren halten in die handliche trig Identität sin Geist² x + cos² x = 1. Zum Beispiel, hier ist, wie Sie integrieren

1. Ziehen Sie weg eine Sünde x und legen Sie es neben der dx:

   

2. Tragen Sie die trigonometrische Identität sin² x = 1 - cos² x den Rest der Sines in der Funktion als Cosinus zum Ausdruck bringen:

   

3. Verwenden Sie die Variablensubstitution u = cos x und du = -sin x dx:

   

Nun, da Sie haben die Funktion im Hinblick auf die Befugnisse der u, das Schlimmste ist vorbei. Sie können die Funktion aus, verwandelte sie in ein Polynom erweitern. Dies ist nur Algebra:

Um fortzufahren, verwenden Sie die Summenregel und Constant Multiple-Regel zu trennen diese in vier Integrale. Vergessen Sie nicht, dass die Minuszeichen auf alle vier Integrale zu verteilen!

An dieser Stelle können Sie jedes Integral separat mit der Potenzregel zu bewerten:

Schließlich verwenden u = cos x die Variablensubstitution umkehren:

Beachten Sie, dass, wenn Sie ersetzen zurück in Bezug auf x, die Macht geht an die cos nächsten anstatt neben dem x, weil Sie die gesamte Funktion cos sind Anhebung x zu einer Macht.

In ähnlicher Weise integrieren Sie irgendein Funktion der Form sin^m x cosⁿ x wann n ungerade ist, für jeden realen Wert der m. Diese Schritte sind praktisch die gleichen wie die in dem vorherigen Beispiel. Zum Beispiel hier, wie Sie sin integrieren^-4x cos⁹ x:

1. Ziehen Sie weg ein cos x und legen Sie es neben der dx:

   

2. Übernehmen Sie die trigonometrische Identität cos² x = 1 - sin² x den Rest der Kosinus in der Funktion als Sinus- auszudrücken:

   

3. Verwenden Sie die Variablensubstitution u = sin x und du = cos x dx:

   

An dieser Stelle können Sie die Funktion verteilen und diese auch ausdrücken als Summe von Potenzen von u.