So lösen Limits mit einem Limit Sandwich

Wenn Sie nicht eine Grenze, die durch Verwendung von Algebra zu lösen, versuchen, eine Grenze Sandwich zu machen. Der beste Weg, um zu verstehen, die Sandwich, oder drücken, Methode ist die in einem Diagramm suchen.

Schauen Sie sich Funktionen f, g, und h in der Figur: G sandwichartig zwischen f und h. Wenn in der Nähe der x-Anzahl - in diesem Beispiel 2 - f ist immer höher als oder gleich hoch wie G, und G ist immer höher als oder gleich hoch wie h, und so kann man das Sandwich Satz verwenden:

Die Grenze von sowohl f und h wie x So nähert 2 ist 3, 3 hat die Grenze zu sein G auch. Es ist nirgendwo sonst muss gehen. Hier ein weiteres Beispiel:

1. Versuchen Substitution (immer versuchen, Substitution zuerst).

   

   Nicht gut, nicht durch Null teilen. Auf planen B.

2. Versuchen Sie algebraische Methoden oder andere Tricks, die Sie in petto haben.

   Sich selbst ausknocken. Sie können es nicht tun. Plan C.

3. Versuchen Sie, Ihren Rechner.

   (Hinweis: Die Rechner Anweisungen unten für einen Grafikrechner wie der TI-84 oder ein ähnliches Modell Aber wenn Sie eine andere Marke von Grafik-Taschenrechner verwenden, sollten Sie in der Lage sein, um die gleichen Ergebnisse zu erzielen..)

   Es ist immer eine gute Idee, um zu sehen, was Ihr Rechner sagt Ihnen, auch wenn dies eine ist # 147-zeigen Sie Ihre Arbeit # 148- Problem. Um diese Funktion grafisch darzustellen, stellen Sie Ihren Grafikrechner der Modus Radiant und das Fenster zu

4. xmin = -0,4

5. xmax = 0,4

6. ymin = -0,3

7. ymax = 0,3

Die folgende Abbildung zeigt, wie das Diagramm aussieht.



Es sieht definitiv wie die Grenze G null ist, wie x nähert sich Null von der linken und der rechten Seite. Prüfen Sie nun die Tabelle der Werte auf Ihrem Rechner (Set TblStart auf 0 und # 8710-tbl bis 0.001). Die folgende Tabelle gibt einige Werte aus der Tabelle, die auf Ihrem Rechner angezeigt.



x	G(x)
0	Fehler
.001	.0008269
.002	-.000936
.003	.0009565
.004	-.003882
.005	-.004366
.006	-.000969
.007	-.006975
.008	-.004928
.009	-.008234

Diese Funktionswerte Art aussehen wie sie immer näher und näher an Null x wird nahe null, aber sie sind nicht überzeugend (beachten Sie, dass, wenn x wird auf Null 0,006-0,005 näher, G wird weiter von Null). Diese Art von Tabelle (mit der automatischen # 8710-tbl) Für oszillierende Funktionen wie Sinus oder Cosinus nicht so groß, arbeiten. So versuchen, die Art der Tabelle als nächstes beschrieben.

Geben Sie die Funktion auf Ihrem Home-Bildschirm des Rechners und schließen Sie nacheinander in der x-aufgelisteten Werte in der nachstehenden Tabelle die entsprechenden Funktionswerte zu erhalten.



x	G(x)
.1	-.054
.01	-.0051
.001	.00083
.0001	-.000031
.00001	.00000036

Jetzt sehen Sie auf jeden Fall, dass G wird in Richtung Null geleitet als x gegen Null geht.

8. Nun müssen Sie die Grenze mathematisch zu beweisen, auch wenn Sie bereits auf Ihrem Rechner gelöst haben. Um dies zu tun, müssen Sie ein Limit Sandwich zu machen.

   Der harte Teil über das Sandwich-Verfahren wird kommen mit dem # 147-Brot # 148- Funktionen (wieder, Funktionen f und h sind das Brot und G ist die Salami). Es gibt keinen automatischen Weg, dies zu tun. Sie haben über die Form der Salami-Funktion zu denken habe, und dann Ihr Wissen über die Funktionen nutzen und Ihre Phantasie mit einigen guten Aussichten für die Brot-Funktionen zu kommen.

   Da der Bereich der Sinus-Funktion ist von der negativen 1 bis positiv 1, wenn Sie eine Nummer mit dem Sinus von etwas multiplizieren, das Ergebnis entweder gleich bleibt Abstand von Null, wie diese Zahl oder kommt näher zu Null.

   

   Die nächste Abbildung zeigt, dass sie es tun.

   

Sie haben gezeigt - wenn auch vielleicht nicht zu einer Befriedigung des Mathematikers, egad! - dass

f (x) # 8805- G (x) # 8805- h (x).