Verwandte Preise: der Ausbau der Ballon-Problem
Angenommen, Sie füllen Sie Ihren Pool und Sie wissen, wie schnell Wasser aus dem Schlauch kommt, und Sie wollen, zu berechnen, wie schnell sich der Wasserstand in den Pool steigt. Sie wissen, dass eine Rate (wie schnell das Wasser gegossen in wird), und Sie wollen eine andere Rate zu bestimmen (wie schnell der Wasserspiegel steigt). Diese Preise werden genannt ähnliche Raten weil man auf der anderen abhängt - je schneller das Wasser gegossen in, desto schneller steigt der Wasserspiegel. In einem typischen ähnlichen Raten Problem, die Rate oder Raten Sie sind unveränderlich gegeben, aber die Rate, die Sie herausfinden müssen, mit der Zeit verändert. Sie haben diese Rate zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen.
Zum Beispiel, sagen Sie bläst einen Ballon mit einer Geschwindigkeit von 300 bis Kubikzoll pro Minute. Wenn der Radius des Ballons ist 3 Zoll, wie schnell sich der Radius zunimmt?
Zeichnen Sie ein Diagramm Beschriftung des Diagramms mit jeder unveränderlich Messungen (es gibt keine in diesem ungewöhnlich einfaches Problem) und stellen Sie sicher, um eine Variable zu irgendetwas in dem Problem zuweisen, ist Ändern (Es sei denn natürlich, es ist irrelevant für das Problem).
Der Radius in der Figur ist mit der Variablen gekennzeichnet r. Der Radius braucht eine Variable, weil, wie der Ballon ausgeblasen wird, der Radius Ändern. In der Figur 3 ist in Klammern zu betonen, dass die Zahl 3 ist, nicht eine unveränderliche Messung. Das Problem bittet, etwas zu bestimmen, wann der Radius 3 Zoll, aber denken Sie daran, wird der Radius ändert sich ständig.
In den entsprechenden Raten Probleme, ist es wichtig zu unterscheiden zwischen dem, was sich verändert und was ist nicht Ändern.
Das Volumen des Ballons auch verändert, so dass Sie eine Variable für Volumen benötigen, V.Sie könnten ein setzen V auf dem Diagramm, das das Ändern der Lautstärke, um anzuzeigen, aber es ist wirklich keine einfache Möglichkeit, einen Teil des Ballons mit einem Etikett V wie kann man den Radius mit einem zeigen r.
Liste aller angegebenen Preise und die Rate Sie gefragt werden, wie Derivate mit Bezug auf die Zeit zu bestimmen.
Sie pumpt den Ballon bei 300 bis cubic Zoll pro Minute. Das ist eine Rate - es ist eine Volumenänderung (Kubikzoll) pro Änderung in der Zeit (Minuten). Damit,
Sie haben, um herauszufinden, wie schnell sich der Radius ändert, so
Schreiben Sie die Formel nach unten, die die Variablen in dem Problem verbunden ist, V und r.
Hier ist die Formel für das Volumen einer Kugel:
Differenzieren Sie Ihre Formel mit Bezug auf die Zeit, t.
Dies funktioniert wie implizite Differenzierung, weil Sie in Bezug auf sind Differenzierung t, aber die Formel basiert auf etwas anderes, nämlich r.
Ersetzen Sie bekannte Werte für die Geschwindigkeit und die Variablen in der Gleichung aus Schritt 4, und dann lösen die Sache, die Sie gefragt werden, zu bestimmen.
Achten Sie darauf, zu unterscheiden (Schritt 4), bevor Sie die gegebenen Informationen in die Unbekannten (Schritt 5) anschließen.
So wird der Radius mit einer Rate von etwa 2,65 zunehmenden Zoll pro Minute wenn der Radius misst 3 Zoll. Denken Sie an all die Ballons Sie seit Ihrer Kindheit die Luft gejagt haben. Jetzt haben Sie endlich die Antwort auf die Frage, die Sie in all diesen Jahren wurde nervt.
By the way, stecken Sie, wenn Sie 5 in r, anstatt 3, erhalten Sie eine Antwort von etwa 0,95 erhalten Zoll pro Minute. Diese Tatsache sollte mit Ihrem Ballon-blowing-up Erfahrung vereinbaren - je größer der Ballon wird, desto langsamer wächst.