Die Bedeutung der Region Convergence (ROC)

Der ZT konvergiert nicht für alle Sequenzen. Wenn es konvergiert, ist es nur über einen Bereich der z-Ebene. Die Werte in der z-Ebene, für die die ZT konvergiert bekannt als region der Konvergenz (ROC).

Die Konvergenz des ZT erfordert, dass

Die rechte Seite dieser Gleichung zeigt, dass x[n]r^-n ist absolut summierbar (Die Summe aller Begriffe |x[n]r^-n| ist kleiner als unendlich). Diese Bedingung ist mit der absoluten summability Zustand konsistent für die DTFT auf eine kontinuierliche Funktion der zu konvergieren

Konvergenz hängt nur von |z| = r, so, wenn die Reihe konvergiert für z = z₁, dann enthält die ROC auch den Kreis |z| = |z₁|. In diesem Fall ist die allgemeine ROC ein ringförmiger Bereich in der z-Ebene, wie dargestellt. Wenn der ROC den Einheitskreis enthält, besteht die DTFT weil die DTFT die ZT auf dem Einheitskreis ausgewertet wird.

Der ROC hat wichtige Auswirkungen, wenn Sie mit dem ZT arbeiten, vor allem die zweiseitige ZT. Wenn der ZT eine rationale Funktion erzeugt, zum Beispiel, werden die Wurzeln des Nennerpolynoms zum ROC verwandt. Und für LTI-Systeme eine rationale ZT hat, ist die ROC eines Systems mit beschränktem Ausgang (BIBO) Stabilität begrenzt Eingängen bezogen. Die Einzigartigkeit des ZT wird auch durch die ROC gewährleistet.

Betrachten Sie das Recht, seitige Sequenz

Der Begriff rechts; seitig bedeutet, dass die Sequenz 0 ist

und die Nicht-Null-Werte reichen von n₀ zur Unendlichkeit. Der Wert von n₀ kann positiv oder negativ sein.

Finden X(z) Und die Republik China, gehen Sie folgendermaßen vor:

1. Verweisen Sie auf die Definition der Summe zu bestimmen:

   

2. Finden Sie die Bedingung für die Konvergenz durch die unendliche geometrische Reihe Summieren:

   

   Somit ist die ROC |z| > |ein|.

3. Um die Summe von Schritt 1 in geschlossener Form zu finden, verwenden Sie die endliche geometrische Reihe Summenformel:

   

   Die geometrische Reihe Konvergenzbedingung entspricht der ROC.

Betrachten Sie die linke; seitige Sequenz x_b[n] = -einⁿu[-n-1]. Der Begriff links; seitig bedeutet, dass die Sequenz 0 ist

Finden X(z) Und die Republik China, die Definition und die unendliche geometrische Reihe schreiben:

Wenn die Summe in seiner jetzigen Form nicht vertraut aussieht, können Sie Variablen in der Summe zu ändern, eine Aktion bekannt als Neuindexierung die Summe, indem man m = -n, dann in den Grenzen