Exponential-Systeme

Sie können algebraische Systeme von Exponentialgleichungen lösen, wenn die Basen der exponentiellen Bedingungen die gleiche Anzahl oder wenn es offensichtlich

(Nicht hassen Sie das Wort in der Mathematik?) Lösungen wegen der einfachen Natur der Gleichungen beteiligt herausspringen. Wenn die Basen übereinstimmen, können Sie einfach legen Sie die Exponenten gleich zueinander.

Wenn eine algebraische Lösung nicht verfügbar ist, dann kann eine gute Grafik-Taschenrechner oder Computer-Programm, um die Lösung zu finden - die in der Regel viel Dezimalwerte und / oder logarithmische Funktionen.

Dieser Artikel befasst sich mit der Art der Probleme, die Sie algebraisch lösen können (oder einfach). Natürlich ist die einfachste Aufstecken nur in einer Reihe, die Sie ziemlich sicher, dass Werke sind. Aber das Verfahren kann zeitaufwendig sein, wenn Sie viel ackern müssen - es ist für die sichere Sache zu reservieren.

Beispielfragen

1. Die gemeinsamen Lösungen von

   

   und y = 16^x+2.

   (2, 65536),

   

   Sie wollen, dass die Basen, passen so zunächst den exponentiellen Term in der zweiten Gleichung ändern, um eine Potenz von 2 Es wird y = (2⁴)^{x + 2} = 2^{4x + 8}. Einstellen der zwei y-Werte der beiden unterschiedlichen Gleichungen einander gleich, Sie bekommen

   

   Nun setzen die beiden Exponenten gleich zueinander: x² + 6x = 4x + 8. Verschieben Sie alle Bedingungen auf der linken Seite und Factoring, x² + 2x - 8 = (x + 4) (x - 2) = 0. Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind, x = -4 Oder x = 2. Ersetzen Sie die x mit -4 entweder in der ursprünglichen Gleichungen, und Sie erhalten

   

   Ersetzen x mit 2 in jeder Gleichung, und Sie erhalten y = 65.536.

2. Die gemeinsamen Lösungen von y = 3^{x +1} und y = 2x + 3

   (0, 3), (-1, 1). Ein Grafik-Taschenrechner würden Sie eine exponentielle Kurve zeigen, von links nach rechts und eine Linie steigende erscheinen durch die Kurve an zwei Stellen in der Nähe der zu schneiden y-Achse. Sie müssten eng zu vergrößern, um die beiden Schnittpunkte zu sehen.

   Diese Gleichungen wurden sorgfältig ausgewählt, so dass die Antworten ganze Zahlen sind. Wenn Sie die beiden Funktionen für einige Werte zu bewerten, können Sie die Lösungen mit minimalem Berechnung bestimmen.

   Lassen x = 0 in der ersten Gleichung, und Sie erhalten y = 3^{0 + 1} = 3. Es sei x = 0 in der zweiten Gleichung, und Sie erhalten y = 2 (0) + 3 = 3. Eine Lösung! Lassen x = -1 In der ersten Gleichung, und Sie erhalten y = 3^{-1 + 1} = 3⁰ = 1. Es sei x = -1 In der zweiten Gleichung, und Sie erhalten y = 2 (-1) + 3 = -2 + 3 = 1. Dies sind die einzigen beiden Lösungen.

Übungsfragen

1. Finden Sie die gemeinsame Lösung (en) y = 3^{x -1} und y = 9^x.

2. Finden Sie die gemeinsame Lösung (en) y = 8^2-xund

   

3. Finden Sie die gemeinsame Lösung (en) y = 2^x und y = 1 - x.

4. Finden Sie die gemeinsame Lösung (en)

   

   und y = e.

Im Folgenden finden Sie Antworten auf die Fragen der Praxis:

1. Die Antwort ist

   

   Set y gleich y zu erhalten 3^{x -1} = 9^x. Ändern Sie den 9-3² und vereinfachen: 3^{x -1} = (3²)^x = 3^2x. Nun, da die Basen die gleichen sind, können Sie die beiden Exponenten gleich zueinander gesetzt und lösen für x: x - 1 = 2x- x = -1. Ersetzen der x mit -1 in y = 3^x-1, du erhältst

   

2. Die Antwort ist

   

   (-2, 4.096).

   Erstens ersetzen die exponentielle Ausdruck in der ersten Gleichung für y in dieser Sekunde. Ändern Sie dann die 8 und 4, um Potenzen von 2, und vereinfachen die Gleichung:

   

   Die Basen sind die gleichen, so setzen die Exponenten untereinander gleich: 6 - 3x = 2x² - 2x 0 wird = 2x² + x - 6. Factoring, erhalten Sie 0 = (2x - 3)(x + 2). Wann

   

   und wann x = -2, y = 8^{2 - (- 2)} = 8⁴ = 4.096.

3. Die Antwort lautet (0, 1).

   Die erste Gleichung ist eine exponentielle, die stetig steigt die x-Werte erhöhen. Der Graph der zweiten Gleichung ist eine Linie, die stetig von links nach rechts abfällt. Sie schneiden sich an einem einzigen Punkt. Bei einigen sorgfältige Auswahl der Punkte, können Sie schnell ihre einzige gemeinsame Lösung zu bestimmen, (0, 1).

   Ersetzen der x mit 0 in die exponentielle gibt Ihnen y = 2⁰ = 1. und Ersetzen der x mit 0 in der Zeile gibt Ihnen y = 1 - 0. = 1.

4. Die Antwort ist (1, e), (-1, e).

   Die Exponentialfunktion ist positiv für alle Werte von x dass Sie Eingabe. Und die Linie ist horizontal mit einem y-intercept (0, e). Wenn Sie die ersetzen x in der exponentiellen mit 1, erhalten Sie y = e¹ oder y = e. Dasselbe geschieht, wenn Sie die ersetzen x mit -1- das Quadrat von -1 ist auch 1, so erhalten Sie die gleiche y-Wert.