Wie zu Differenzieren Implizit

Manchmal werden Sie gefragt, um eine Gleichung zu unterscheiden, die für nicht gelöst ist y, mögen y⁵ +3x² = sin x - 4y³. Diese Gleichung definiert y implizit als Funktion von x, und man kann es nicht als explizite Funktion schreiben, weil es nicht für gelöst werden können y. Für ein solches Problem, Sie brauchen implizite Differenzierung. Wenn implizit Differenzierung alle derivativen Regeln funktionieren gleich, mit einer Ausnahme: Wenn Sie einen Begriff mit einem differenzieren y darin, verwenden Sie die Kettenregel mit einem kleinen Twist.

Zum Beispiel können Sie die Kettenregel verwenden, um etwas wie die Sünde zu unterscheiden (x³wie folgt): mit der Außen Funktion, sin beginnen, und zu unterscheiden, dass IGNORING, was drin ist - in diesem Fall, x³. Um sicherzustellen, dass Sie das Innere ignorieren, vorübergehend das Innere Funktion mit dem Wort ersetzen Sachen. In diesem Beispiel ist die Ableitung von Sinus-Cosinus, so dass die Ableitung von sin (Sachen) ist

Sie beenden das Problem durch die Ableitung der Suche nach Sachen,x³, welche 3x², und dann die Ersetzungen durchgeführt, um Ihnen

Mit implizite Differenzierung, ein y funktioniert wie das Wort Sachen. Da somit

Die Wendung ist, dass, während das Wort Sachen vorübergehend an die Stelle von einigen bekannt Die Funktion von x (x³ in diesem Beispiel), y einige unbekannt Die Funktion von x (Sie wissen nicht, was die y entspricht in Bezug auf x). Und weil Sie nicht wissen, was y entspricht, die y und das

Aber das Konzept ist genau das gleiche, und Sie behandeln y ebenso wie die Sachen. Sie können einfach nicht den Schalter wieder auf xs am Ende des Problems, wie Sie können mit einem normalen Kettenregel Problem.

Hier ist ein Beispiel. Unterscheiden y⁵ +3x² = sin x - 4y³:

1. Differenzieren Sie jeden Begriff auf beide Seiten der Gleichung.

   y⁵ +3x² = sin x - 4y³

   Für den ersten und vierten Begriffe verwenden Sie die Macht Regel und, weil diese Begriffe enthalten ys, verwenden Sie auch die Kettenregel. Für den zweiten Begriff verwenden Sie die reguläre Strom Regel. Und für den dritten Term, verwenden Sie den regulären Sinus-Regel.

   

2. Sammeln Sie alle Begriffe ein, enthaltend

   

   auf der linken Seite der Gleichung und alle anderen Terme auf der rechten Seite.

   

3. Ausklammern

   

4. Teilen Sie für die endgültige Antwort.

   

Beachten Sie, dass diese Ableitung in Bezug auf die ausgedrückt wird x und y statt nur x. Also, wenn Sie die Ableitung erhalten die Steigung an einem bestimmten Punkt zu bewerten zu können, müssen Sie die Werte für beide zu haben x und y in das Derivat zu stopfen.

Beachten Sie auch, dass in vielen Lehrbüchern, das Symbol

wird verwendet, anstelle von

in jedem Schritt von Lösungen wie das hier gezeigt. Sie können feststellen,

einfacher und weniger umständlich zu arbeiten. Aber

hat den Vorteil, Sie daran zu erinnern, dass Sie finden, die Ableitung von y in Gedenken an x. So oder so ist in Ordnung. Treffen Sie Ihre Wahl.