Lösung von Differentialgleichungen ein Integrationsfaktor verwenden

Eine clevere Methode zur Lösung von Differentialgleichungen (DES) ist in der Form einer linearen Gleichung erster Ordnung. Dieses Verfahren beinhaltet die gesamte Gleichung durch eine Multiplikation integrierender Faktor. Eine lineare Gleichung erster Ordnung hat die folgende Form:

Um diese Methode zu verwenden, gehen Sie folgendermaßen vor:

1. Berechnen Sie den Integrationsfaktor.

2. Multiplizieren Sie die DE dieses integrierender Faktor.

3. die linke Seite der Gleichung als ein einzelnes Derivat Formulieren.

4. Integrieren Sie beide Seiten der Gleichung und lösen für y.

Um Ihnen zu helfen zu verstehen, wie durch ein integrierender Faktor Arbeiten multipliziert, wird die folgende Gleichung eingerichtet, um praktisch von selbst lösen - das heißt, wenn Sie wissen, was zu tun ist:

Beachten Sie, dass dies eine lineare ersten Grades DE, mit

und b(x) = 0. Sie zwicken nun diese Gleichung, indem sie jeden Begriff Multiplikation mit x² (Sie sehen, warum kurz):

Als nächstes benutzen Sie Algebra ein wenig vereinfachend und Neuanordnung zu tun:

Hier ist, wo Sie bekommen sehr glücklich erscheinen: Die beiden Begriffe auf der linken Seite der Gleichung nur die sein passieren Ergebnis der Anwendung der Produktregel auf die Expression y # 183- x²:

Beachten Sie, dass die rechte Seite dieser Gleichung ist genau die gleiche wie auf der linken Seite der vorherigen Gleichung. So können Sie die folgende Wechsel vor:

Nun, die Ableitung auf der linken Seite rückgängig zu machen, integrieren Sie beide Seiten, und dann für Sie lösen y:

Um diese Lösung zu prüfen, schließen Sie diesen Wert von y zurück in die ursprüngliche Gleichung:

Das obige Beispiel funktioniert, weil Sie einen Weg gefunden, die gesamte Gleichung mit einem Faktor zu multiplizieren, der die linke Seite der Gleichung wie ein Derivat aus der Produktregel resultierenden aussehen ließ. Obwohl dies sah glücklich, wenn Sie wissen, was zu multiplizieren, jeden lineare erster Ordnung DE kann auf diese Weise umgewandelt werden. Daran erinnern, dass die Form einer linearen erster Ordnung DE ist wie folgt:

Der Trick ist, die DE durch eine zu multiplizieren Integrationsfaktor beyogen auf ein(x). Hier ist der Integrationsfaktor:

Zum Beispiel in dem vorherigen Problem, wissen Sie, dass

Also hier ist, wie man den Integrationsfaktor zu finden:

Denken Sie daran, dass 2 ln x = ln x², damit:

Wie Sie sehen können, Faktor der Integration x²ist der genaue Wert, den Sie das Problem, multipliziert mit zu lösen. Um zu sehen, wie dieser Prozess funktioniert jetzt, dass Sie den Trick kennen, hier ist eine andere DE zu lösen:

In diesem Fall, ein(x) = 3, den Integrationsfaktor so berechnen sich wie folgt:

Nun multiplizieren jeden Term in der Gleichung um diesen Faktor:

Wenn Sie möchten, Algebra verwenden, um die rechte Seite zu vereinfachen und die linke Seite neu ordnen:

Jetzt können Sie sehen, wie die linke Seite dieser Gleichung wie die aussieht Ergebnis der Produktregel angewendet, um das folgende Derivat zu bewerten:

Da die rechte Seite dieser Gleichung die gleiche wie die linke Seite der vorherigen Gleichung ist, können Sie die folgende Wechsel vor:

Beachten Sie, dass Sie die linke Seite der Gleichung ändern, um die Produktregel im Rückwärtsgang. Das heißt, Sie zum Ausdruck, die ganze linke Seite als eine einzige Ableitung. Jetzt können Sie beide Seiten integrieren dieses Derivat rückgängig zu machen:

Jetzt lösen für y und vereinfachen:

Um diese Antwort zu überprüfen, ersetzen Sie diesen Wert von y zurück in die ursprüngliche DE:

Wie von Zauberhand, überprüft diese Antwort aus, so ist die Lösung gültig.