Wie ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert der mit unbekannter Standardabweichung und / oder kleine Stichprobenmenge zu berechnen
Sie können ein Konfidenzintervall (CI) für den Mittelwert oder Durchschnitt der Bevölkerung zu berechnen, auch wenn die Standardabweichung unbekannt ist oder die Stichprobengröße klein ist. Wenn eine statistische Eigenschaft, die (wie Einkommen, IQ, Preis, Größe, Menge oder Gewicht) gemessen Sein ist numerisch, die meisten Menschen wollen für die Bevölkerung den Mittelwert (Durchschnitt) Wert zu schätzen. Sie schätzen die Bevölkerung bedeuten,
indem man eine Probe Mittelwert verwenden,
plus oder minus einem Fehlerspanne. Das Ergebnis wird als ein Konfidenzintervall für den Mittelwert,
In vielen Situationen, wissen Sie nicht,
so dass Sie es mit der Standardabweichung der Stichprobe abschätzen zu können, s- und / oder die Probengröße ist klein (weniger als 30), und Sie können Ihre Daten kamen aus einer Normalverteilung nicht sicher sein. (Im letzteren Fall kann der zentrale Grenzwertsatz nicht verwendet werden.) In beiden Fällen können Sie keine verwenden z * -Wert aus der Standardnormal (Z-) Verteilung als kritischer Wert anymore- Sie haben einen größeren kritischen Wert als das zu verwenden, weil man nicht weiß, was
ist und / oder weniger Daten aufweist.
Die Formel für ein Konfidenzintervall für eine Population bedeuten in diesem Fall ist
ist die kritische t *-Wert aus der t-Verteilung mit n - 1 Freiheitsgraden (wo n ist die Stichprobengröße).
Das t * -Werte für die gemeinsame Vertrauensniveaus werden mit der letzten Zeile der oben gefunden t-Tabelle.
Das t-Verteilung hat eine ähnliche Form wie die Z-Verteilung außer es ist flacher und sich auszubreiten. Für kleine Werte von n und ein spezifisches Konfidenzniveau, die kritischen Werte auf die t-Verteilung größer sind als auf der Z-Verteilung, so dass, wenn Sie verwenden, um die kritischen Werte aus der t-Verteilung, die Fehlerspanne für Ihr Konfidenzintervall wird breiter. Da die Werte von n größer werden, die t *-Werte sind näher z *-Werte.
Um einen CI für den Mittelwert (Durchschnitt), unter diesen Bedingungen zu berechnen, gehen Sie wie folgt vor:
Bestimmen Sie die Vertrauensniveau und Freiheitsgrade und finden Sie dann die entsprechende t *-Wert.
Auf die vorhergehende t-Tabelle.
Finden Sie die Probe Mittelwert
und die Proben-Standardabweichung (s) Für die Probe.
Multiplizieren t * mal s und teilen sich, dass durch die Quadratwurzel von n.
Diese Berechnung gibt Ihnen die Fehlermarge.
Nehmen
plus oder minus der Fehlermarge des CI zu erhalten.
Das untere Ende des CI ist
minus die Fehlerspanne, während das obere Ende des CI ist
plus die Fehlerspanne.
Zum Beispiel: Angenommen, Sie für das Department of Natural Resources arbeiten und Sie wollen, zu schätzen, mit 95%, der Mittelwert (Durchschnitt) Länge aller Walleye Setzlingen in einem Fischzüchterei Teich. Sie nehmen eine Stichprobe von 10 Setzlingen und bestimmen, dass die durchschnittliche Länge 7,5 Zoll ist und die Probe Standardabweichung beträgt 2,3 Zoll.
Da Sie ein Konfidenzintervall von 95% wollen, bestimmen Sie Ihre t *-Wert wie folgt:
Das t *-Wert stammt aus einer t-Verteilung mit 10-1 = 9 Freiheitsgrade. Dies t * -Wert wird durch einen Blick auf die gefunden t-Tabelle. Schauen Sie in der letzten Reihe, wo die Vertrauensniveaus befinden und das Konfidenzniveau von 95% finden - dies markiert die Spalte, die Sie benötigen. Dann finden Sie die Zeile entsprechend df = 9. Intersect die Zeile und Spalte, und Sie finden t * = 2,262. Dies ist das t * -Wert für ein Intervall von 95% für die mittlere mit einer Probengröße von 10 (Achtung: Dies ist größer als die z* -Wert, Die 1,96 für den gleichen Konfidenzintervall sein würde.)
Sie wissen, dass die durchschnittliche Länge 7,5 Zoll ist, die Proben-Standardabweichung 2,3 Zoll ist, und die Probengröße ist 10. Diese Mittel
Multiply 2.262 mal 2,3, geteilt durch die Quadratwurzel von 10. Die Fehlerquote ist deshalb
Ihr 95% Konfidenzintervall für die mittlere Länge aller Walleye Setzlingen in diesem Fischzüchterei Teich
(Das untere Ende des Intervalls von 7,5 bis 1,645 = 5,86 Zoll- das obere Ende beträgt 7,5 + 1,645 = 9,15 inches).
Beachten Sie das Konfidenzintervall ist breiter als es für eine große Probengröße sein würde. Neben einer größeren kritischen Wert aufweisen (t * gegen z *), Erhöht sich die kleinere Größe der Fehlermarge, weil n in seinem Nenner ist. Mit einer kleineren Stichprobengröße, müssen Sie nicht so viele Informationen # 147-erraten # 148- an der Bevölkerung bedeuten. Daher mit 95% zu halten, müssen Sie ein breiteres Intervall als Sie mit einer größeren Stichprobengröße, um noch 95% sicher sein, dass die Bevölkerung Mittelwert im Intervall fällt.
Nachdem Sie ein Konfidenzintervall berechnen, stellen Sie sicher, dass Sie interpretieren es immer in Worte eine Nicht-Statistiker verstehen würde. Das heißt, Vortrag über die Ergebnisse in Hinblick darauf, was die Person in dem Problem herauszufinden versucht - Statistiker nennen dies die Interpretation der Ergebnisse # 147-im Kontext des Problems # 148- In diesem Beispiel kann man sagen.: # 147-Mit 95%, die durchschnittliche Länge der Walleye Setzlingen in dieser gesamten Fischzüchterei Teich ist zwischen 5,86 und 9,15 Zoll, basierend auf meinen Beispieldaten. # 148- (immer sicher, dass geeignete Einheiten enthalten.)