Wie berechnen den Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung für eine t-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilungen, einschließlich der t-Verteilung, haben mehrere Momente, einschließlich der Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung (a Moment ist eine Zusammenfassung Maß für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung):

  • Der erste Moment einer Verteilung ist der Erwartungswert, E(X), Die den Mittelwert oder Durchschnittswert der Verteilung darstellt.

    Für die t-Verteilung mit

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    Freiheitsgrade, entspricht der Mittelwert (oder Erwartungswert)

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    oder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, und

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    üblicherweise bezeichnet die Anzahl der Freiheitsgrade einer Verteilung.

  • Das zweite zentrale Moment ist die Varianz

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    und misst die Ausbreitung der Verteilung über dem erwarteten Wert. Je mehr sich auszubreiten eine Verteilung ist, desto mehr "gestreckt" ist die grafische Darstellung der Verteilung. Mit anderen Worten, werden die Schwänze weiter von der mittleren, und der Bereich in der Nähe des Mittel wird kleiner sein. Beispielsweise auf der Basis der folgenden Figuren kann gesehen werden, dass die t-Verteilung mit zwei Freiheitsgraden ist weit verteilt ist als die t-Verteilung mit 30 Freiheitsgraden.

    Sie verwenden die Formel

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    die Varianz der t-Verteilung zu berechnen.

    Die Standardnormal und t-Verteilung mit zwei Freiheitsgraden.
    Die Standardnormal und t-Verteilung mit zwei Freiheitsgraden.
    Die Standardnormal und t-Verteilung mit 30 Freiheitsgraden.
    Die Standardnormal und t-Verteilung mit 30 Freiheitsgraden.

Als ein Beispiel mit 10 Freiheitsgraden, wird die Varianz der t-Verteilung von 10 Substituieren berechnet für

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in der Varianz Formel:

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Mit 30 Freiheitsgraden entspricht die Varianz der t-Verteilung

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Diese Berechnungen zeigen, dass die Freiheitsgrade zunimmt, nimmt die Varianz der t-Verteilung sinkt, immer progressiv näher an 1.

  • Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz

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    (Es ist kein separater Moment.)

    Für die t-Verteilung finden Sie die Standardabweichung mit dieser Formel:

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Für die meisten Anwendungen ist die Standardabweichung ein nützlicheres Maß als die Varianz, da die Standardabweichung und der erwartete Wert in den gleichen Einheiten gemessen werden, während die Varianz gemessen wird, kariert Einheiten. Angenommen, Sie gehen davon aus, dass die Renditen auf ein Portfolio der t-Verteilung folgen. Sie messen sowohl den Erwartungswert der Renditen und die Standardabweichung als ein Percentage Sie die Varianz als Maß kariert Prozentsatz, der ein schwieriges Konzept zu interpretieren ist.

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