Sinusfunktionen und Schaltungsanalyse

Die Sinusfunktionen (Sinus und Cosinus) erscheinen überall, und sie spielen eine wichtige Rolle bei der Schaltungsanalyse. Die Sinusfunktionen bieten eine gute Näherung für die Beschreibung eines Eingangs der Schaltung und Ausgabeverhalten nicht nur in der Elektrotechnik, sondern in vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik.

Die Sinusfunktion ist periodisch, dessen Graph Bedeutung enthält eine Grundform, die immer und immer wieder auf unbestimmte Zeit wiederholt. Die Funktion geht für immer, beide schwing durch in endlosen Gipfeln und Tälern negative und positive Richtungen der Zeit. Hier sind einige der wichtigsten Teile der Funktion:

• die Amplitude V_EIN definiert den maximalen und minimalen Spitzen der Schwingungen.

• Frequenz f₀ beschreibt die Anzahl der Schwingungen in 1 Sekunde.

• Die Periode T₀ definiert die Zeit 1 Zyklus abzuschließen erforderlich.

Die Periode und Frequenz sind reziproken voneinander durch die folgende mathematische Beziehung bestimmt:

Hier ist eine Cosinus-Funktion, die Sie als Referenzsignal verwendet werden können:

Sie können Sinusfunktionen nach links oder rechts mit einer Zeitverschiebung zu erhöhen sowie zu verschieben oder die Amplitude zu verringern. Sie können auch eine Sinusfunktion mit einer Phasenverschiebung in Bezug auf eine lineare Kombination von Sinus- und Kosinus-Funktionen beschreiben. Hier ist eine Kosinus-Funktion und eine verschobene Cosinus-Funktion mit einer Phasenverschiebung von # 960- / 2.

Phasenverschiebungen in einer sinusförmigen Funktion

Ein Signal, das ist außer Phase wurde nach links oder rechts verschoben, wenn mit einem Referenzsignal verglichen:

• Rechtsverschiebung: Wenn eine Funktion rechts bewegt, dann wird die Funktion sagt man verspätet. Die verzögerte Kosinus hat seinen Höhepunkt nach dem Ursprung auftreten. Ein verzögertes Signal wird auch gesagt, eine zu sein Nacheilungssignal da das Signal erwartet spätestens ankommt.

• Linksverschiebung: Wenn die Kosinusfunktion links verschoben wird, wird das verschobene Funktion sagt man fortgeschritten. Der Spitzenwert des erweiterten Signals erfolgt kurz vor dem Ursprung. Ein fortschrittliches Signal wird auch ein genannt Blei-Signal da der Leitungssignal früher kommt als erwartet.

Hier sind Beispiele für unverschobenen hinkte und Blei Kosinus-Funktionen.

Um zu sehen, was eine Phasenverschiebung sieht aus wie mathematisch, zunächst einen Blick auf das Referenzsignal:

Beim t = 0, ist die positive Spitzen V_EIN dient als Bezugspunkt. Um den Referenzpunkt durch Zeitverschiebung bewegen T_S, ersetze das t mit (t - T_S):

woher

Der Faktor # 981- ist die Phasenverschiebung (oder Winkel). Die Phasenverschiebung ist der Winkel zwischen t = 0 und der nächste positive Spitze. Sie können die vorhergehenden Gleichung als polare Darstellung der Sinuskurve anzuzeigen. Wenn die Phasenverschiebung # 960- / 2, dann die verschobenen Cosinus ist eine Sinusfunktion.

Express den Phasenwinkel in Radiant um sicherzustellen, dass es in den gleichen Einheiten wie das Argument der Cosinus (2 # 960-t/T₀ - # 981-). Winkel können entweder in Radiant ausgedrückt werden oder Grad- Sie die richtige Einstellung verwenden auf Ihrem Rechner sicherstellen.

Wenn Sie eine Phasenverschiebung # 981- am Ausgang, wenn an den Eingang verglichen, ist es normalerweise durch die Schaltung selbst verursacht.

Erweitern Sie eine Sinusfunktion und finden Fourier-Koeffizienten

Die allgemeine Sinuskurve v (t) beinhaltet den Kosinus einer Differenz von Winkeln. In vielen Anwendungen können Sie die allgemeine Sinuskurve mit dem folgenden trigonometrischen Identität erweitern:

Die Erweiterung des allgemeinen Sinuskurve v (t) führt zu

Die Begriffe c und d genannt sind nur spezielle Konstanten Fourier-Koeffizienten. Sie können die Wellenform als eine Kombination von Sinus und Cosinus ausdrücken wie folgt:

Die Funktion v (t) beschreibt ein Sinussignal in Rechteckform.

Wenn Sie Ihre komplexen Zahlen gehen zwischen polaren und rechteckigen Formen kennen, dann können Sie zwischen den beiden Formen der Sinusoide gehen. Die Fourier-Koeffizienten c und d werden durch die amplitudenbezogenen V_EIN und Phase # 981-:

Wenn Sie gehen zurück zu finden V_EIN und # 981- aus den Fourier-Koeffizienten c und d, wickeln Sie mit diesen Ausdrücken auf:

Die inverse Tangensfunktion auf einem Rechner hat eine positive oder negative 180 # 176- (oder # 960-) Phasenambiguität. Sie können die Phase herauszufinden, indem man die Zeichen der Fourier-Koeffizienten suchen c und d. Zeichnen Sie die Punkte c und d auf dem rechteckigen System, in dem c ist der x-Komponente (oder Abszisse) und d ist der y-Komponente (oder Ordinate).

Das Verhältnis von d/c kann in den Quadranten II und IV negativ sein. Mit dem rechteckigen System hilft Ihnen, den Winkel bestimmen, wann der Arcustangens nehmen, deren Reichweite von - # 960- / 2 # 960- / 2.

Schließen Sie Sinusfunktionen zu Exponentialgrößen mit Euler-Formel

Euler-Formel verbindet trigonometrischen Funktionen mit komplexen Exponentialfunktionen. Die Formel besagt, dass für jede reelle Zahl # 952-, Sie haben die folgenden komplexen exponentiellen Ausdrücke:

der Exponent j# 952- eine imaginäre Zahl ist, wobei j = # 8730--1.

Die imaginäre Zahl j ist die gleiche wie die Anzahl ich aus Ihren Mathematikunterricht, aber alle coolen Leute benutzen j für imaginäre Zahlen, weil ich steht für Strom.

Sie können die beiden vorhergehenden Gleichungen addieren und subtrahieren die folgenden Beziehungen zu erhalten:

Diese Gleichungen sagen, daß die Kosinus- und Sinusfunktionen als eine Kombination von komplexen Exponentialfunktionen aufgebaut sind. Die komplexen Exponentialfunktionen eine wichtige Rolle spielen, wenn Sie komplexe Schaltungen sind die Analyse, die Speichergeräte wie Kondensatoren und Induktivitäten aufweisen.