Mit dem Doppelwinkel-Identität für Cosinus

Identitäten für Winkel, der doppelt so groß ist wie eine der gemeinsamen Winkel (Doppelwinkel) sind häufig in trig verwendet. Diese Identitäten ermöglicht es Ihnen, mit einem größeren Winkel in den Bedingungen eines kleineren und beherrschbare ein zu beschäftigen.

EIN Doppelwinkel Funktion geschrieben wird, beispielsweise als Sünde 2theta-, cos 2alpha- oder tan 2x, wo 2theta-, 2alpha- und 2x Maßnahmen sind die Winkel und die Annahme ist, dass Sie sin bedeuten (2theta-), cos (2alpha-) oder tan (2x). Weil Tangens dem Verhältnis von Sinus und Cosinus gleich ist, seine Identität kommt von ihrer Doppelwinkel Identitäten.

Die Doppelwinkel-Identitäten finden die Funktion für den doppelten Winkel theta-. Beachten Sie, dass die Cosinus-Funktion drei verschiedene Versionen seiner Doppelwinkel Identität hat.

Das Finden der Kosinus von zweimal einem Winkel ist einfacher als die anderen Funktionswerte zu finden, weil Sie drei Versionen zur Auswahl. Sie treffen Sie Ihre Wahl je nachdem, welche Informationen verfügbar sind und was am einfachsten zu berechnen aussieht. Um Ihnen zu zeigen, wo der erste der Doppelwinkel-Identitäten für Cosinus kommt, in diesem Beispiel die Winkelsumme Identität für Cosinus verwendet. Da die beiden Winkel gleich sind, können Sie ersetzen beta- mit Alpha-, so cos (alpha- + beta-) = cosalpha- cosbeta-- sin sinbeta- wird

Um die zweite Version zu erhalten, verwenden Sie die erste Pythagoreischen Identität, sin² + cos² = 1. Die Lösung für die Sünde², Sie sin erhalten² = 1 - cos². Setzen Sie dieses Ergebnis zurück in die Doppelwinkel Identität für Cosinus und Vereinfachung, Sie bekommen

Um die letzte Version des Doppelwinkels Identität für Cosinus finden, lösen die erste Pythagoreischen Identität für cos²Alpha-, das gibt Ihnen cos²alpha- = 1 - sin²Alpha-. Dann ersetzen Sie dieses Ergebnis in den ersten Winkelsumme Identität für Cosinus:

Der größte Vorteil drei verschiedene Identitäten für den Kosinus eines Doppelwinkel ist, dass man für den Cosinus mit nur einem anderen Funktionswert zu lösen. Die Summen- und Differenz-Identitäten für Sinus und Cosinus, andererseits sowie die Doppelwinkel Identität für sine, beinhalten alle sowohl die Sinus- und Kosinus der Winkel.

Hier ist ein Beispiel aus zeigt diesen Vorteil. Finden cos 2alpha-- den Winkel alpha- ist in dem vierten Quadranten und sinalpha- = -0.45.

1. Wählen Sie den entsprechenden Doppelwinkel Identität.

   Da Sie den Wert des Sinus kennen, verwenden cos 2alpha- = 1 - 2sin²Alpha-.

2. Legen Sie den angegebenen Wert in der Formel und zu vereinfachen.

   

Der resultierende Cosinus ist positiv. Der Kosinus ist positiv in den ersten und vierten Quadranten, so wie Sie wissen, welche das Terminal Seite dieses Doppelwinkel dieser beiden Quadranten liegt in? Zurück zum Anfang des Problems - Sie wissen, dass der ursprüngliche Winkel im vierten Quadranten ist. Ein Winkel, in dem vierten Quadranten Maßnahmen zwischen 270 Grad und 360 Grad. Wenn Sie diese Zahlen verdoppeln (weil Sie mit einem Doppelwinkel arbeiten), erhalten Sie 540 Grad und 720 Grad. Die Winkel zwischen diesen beiden Werten liegen in den dritten und vierten Quadranten. Der Kosinus ist positiv in dem vierten Quadranten, so dass diese Doppelwinkel im vierten Quadranten liegt.