So finden Sie Intervalle von Concavity und Wendepunkte

Sie können eine Funktion der Höhlung zu lokalisieren (wo eine Funktion konkav nach oben oder nach unten) und Wendepunkte (wo die Höhlung Schalter von positiv zu negativ oder umgekehrt) in ein paar einfachen Schritten. Die folgende Methode zeigt Ihnen, wie die Intervalle der Höhlung zu finden und die Wendepunkte

1. Finden Sie die zweite Ableitung von f.

   

2. Legen Sie die zweite Ableitung gleich Null und lösen.

   

3. Bestimmen Sie, ob die zweite Ableitung für jede nicht definiert ist x-Werte.

   

   Die Schritte 2 und 3 geben Sie, was Sie nennen könnte # 147-Sekunden-Derivat kritische Zahlen # 148- von f denn sie sind analog zu den kritischen Anzahl von f dass Sie die erste Ableitung finden Verwendung. Aber dieser Satz von Zahlen hat keinen besonderen Namen. In jedem Fall ist die wichtige Sache zu wissen, dass diese Liste der Nullen von aufgebaut ist f# 8242- # 8242- zuzüglich x-Werte, bei denen f# 8242- # 8242- undefiniert.

4. Plot diese Zahlen auf einer Zahlengeraden und testen Sie die Regionen mit dem zweite Derivat.

   Verwenden Sie -2, -1, 1 und 2 als Testzahlen.

   

   Da -2 in der linken, die meisten Region auf der Zahlengeraden unten, und da die zweite Ableitung an gleich -2 Negativ 240, wird dieser Bereich ein negatives Vorzeichen in der Abbildung unten, und so weiter für die anderen drei Regionen.

   
   Eine zweite Ableitung Zeichen Graph.

   Ein positives Vorzeichen auf diesem Zeichen Graph zeigt Ihnen, dass die Funktion in die konkav nach oben ist Intervall- negatives Vorzeichen bedeutet konkav nach unten. Die Funktion hat einen Wendepunkt (in der Regel) auf jeder x-Wert, bei dem die Vorzeichen von positiv zu negativ oder umgekehrt wechseln.

   

   (Wenn Sie ein Problem bekommen, in dem die Zeichen in einer Reihe schalten, wo die zweite Ableitung nicht definiert ist, haben Sie eine weitere Sache zu prüfen, vor dem Abschluss, dass es ein Wendepunkt gibt. Ein Wendepunkt besteht in einem gegebenen x-nur Wert, wenn es eine Tangentenlinie an die Funktion zu dieser Nummer. Dies ist der Fall, wo die erste Ableitung existiert oder wo es eine vertikale Tangente).

5. Stecken Sie diese drei x-Werte in f die Funktionswerte der drei Wendepunkte zu erhalten.

   
   Eine graphische Darstellung, Wendepunkte und Intervalle der Höhlung.
   

   Die Quadratwurzel von zwei gleich etwa 1,4, so gibt es Wendepunkte bei etwa (-1,4, 39.6), (0, 0) und etwa (1,4, -39,6).