Wie das Ändern der Fläche unter einer Kurve zu messen

Sie können einen Bereich Funktion verwenden, um die Fläche unter einer Kurve zu messen, auch wenn sich die Fläche verändert. Zum Beispiel, sagen Sie jede alte Funktion haben, f (t). Stellen Sie sich vor, dass bei einigen t-Wert, es nennen s, ziehen Sie eine feste vertikale Linie, wie hier gezeigt.

Dann nehmen Sie eine bewegliche vertikale Linie, an der gleichen Stelle beginnen, s ( "s" ist für beginnend Punkt), und ziehen Sie ihn nach rechts. Wie Sie die Linie ziehen, kehren Sie eine größere und größere Fläche unter der Kurve heraus. Dieser Bereich ist eine Funktion der x, die Position der beweglichen Leitung. In Symbole, die Sie schreiben

Beachten Sie, dass t Variable ist die Eingabe in f (t) Anstatt von x weil x bereits vergeben ist - es ist die Eingangsgröße in EIN_f (x). Der Index f im EIN_f weist darauf hin, dass EIN_f (x) Ist die Flächenfunktion für die jeweilige Kurve f oder f (t). Das dt ist ein kleines Inkrement entlang der t-Achse - eigentlich ein verschwindend kleiner Zuwachs.

Hier ist ein einfaches Beispiel, um sicherzustellen, dass Sie den Griff bekommen habe, wie ein Bereich Funktion arbeitet. By the way, fühlen sich nicht schlecht, wenn Sie diese extrem schwer zu erfassen - Sie haben viele Unternehmen bekam. Sagen Sie bitte die einfache Funktion haben, f (t) = 10, das ist eine horizontale Linie bei y = 10. Wenn Sie Bereich fegen am Anfang s = 3, wird die folgende Fläche Funktion erhalten:

Sie können sehen, dass der Bereich von 3 auf 4 ist 10 gefegt, weil in der Linie von 3 auf 4 Ziehen Sie ein Rechteck mit einer Breite von 1 und einer Höhe von 10 fegen, die 10 eine Fläche von 1 mal hat, oder 10, wie hier gezeigt.

Damit, EIN_f (4), die überstrichene Fläche, wie Sie 4 treffen, ist gleich 10. EIN_f (5) gleich 20, weil, wenn Sie die Linie 5 ziehen, haben Sie 10 ein Rechteck mit einer Breite von 2 und Höhe überstrichen, die eine Fläche von 2 mal hat 10 oder 20. EIN_f (6) gleich 30, und so weiter.

Nun stelle man sich, dass Sie die Linie über mit einer Rate von einer Einheit pro Sekunde ziehen. Sie beginnen bei x = 3, und Sie treffen 4 auf 1 Sekunde, 5 auf 2 Sekunden 6 auf 3 Sekunden, und so weiter. Wie viel Fläche fegen Sie pro Sekunde aus? Zehn Quadrateinheiten pro Sekunde, weil jede Sekunde Sie einen anderen fegen 1-by-10-Rechteck. Hinweis - das ist riesig -, dass, weil die Breite jedes Rechtecks ​​Sie fegen 1, die Fläche jedes Rechteck - die gegeben ist durch Höhe mal Breite - als seine Höhe ist gleich, weil alles mal selbst gleich 1 ist. Sie sehen, warum dies in einer Minute ist riesig. (By the way, die reale Rate Sie hier egal Bereich ist pro Sekunde überstrichen, sondern vielmehr überstrichene Fläche auf die pro Einheitsänderung aus x-Achse. In diesem Beispiel wird es in Bezug auf die pro Sekunde, weil es einfacher ist zu einem Kehr-out-Bereich Rate zu denken, auf diese Weise. Und da Sie ziehen die Linie über an ein x-Achseneinheit pro eins Zweitens sind beide Raten gleich. Treffen Sie Ihre Wahl.)

Die Ableitung einer Fläche Funktion entspricht der Geschwindigkeit der Fläche herausgerissen zu werden. Okay, sitzen Sie unten? Sie haben eine andere der großen erreicht Ah ha! Momente in der Geschichte der Mathematik. Erinnere dich daran ein Derivat ist eine Rate. Also, da die Geschwindigkeit, mit der die bisherige Fläche Funktion 10 Quadrateinheiten pro Sekunde wächst, können Sie ihr Derivat 10. entspricht also sagen, können Sie schreiben

Auch dies sagt Ihnen genau das mit je 1 Einheit Anstieg der x, EIN_f (Der Bereich Funktion) geht nach oben 10. Jetzt ist hier die kritische Sache: Beachten Sie, dass diese Rate oder ein Derivat von 10 ist die gleiche wie die Höhe der ursprünglichen Funktion f (t10) = weil, wie Sie über 1 Einheit gehen, können Sie ein Rechteck fegen, die 1 von 10 ist, die eine Fläche von 10, die Höhe der Funktion.

Und arbeitet die Rate unabhängig von dem Rechteck der Breite bis 10. Stellen Sie sich vor, dass Sie die vertikale Linie ziehen ausx = 4 bis x = 4,001. Bei einer Rate von einer Einheit pro Sekunde, das wird nehmen Sie 1/1000^th zweitens, und Sie werden ein dünnes Rechteck mit einer Breite von 1/1000 fegen, einer Höhe von 10 und damit einer Fläche von 10 mal 1/1000 oder 1/100 Quadrateinheiten. Die Rate der Fläche werden würde gefegt daher

das entspricht 10 Quadrateinheiten pro Sekunde. Sie sehen also, dass mit jedem kleinen Schritt entlang der x-Achse, die Rate der Fläche wird gefegt ist gleich der Funktion der Höhe.

Dies funktioniert für jede Funktion, nicht nur horizontale Linien. Schauen Sie sich die Funktion G (t) Und seine Umgebung Funktion EIN_G (x), Die überstreicht Bereich beginnend bei s = 2 in der folgenden Abbildung.

Zwischen x = 3,6 und x = 3,7, EIN_G (x) Durch den Bereich dieser dünn, dunkel schattierten "Rechteck" mit einer Breite von 0,1 und einer Höhe von etwa 15 wächst (Wie Sie sehen können, ist es nicht wirklich ein Rechteck- es zu einem Trapez näher ist, aber es ist auch nicht so, weil seine winzige Spitze krümmt sich leicht. Aber in der Grenze, als die Breite, die kleiner und kleiner wird, das dünne "Rechteck" genau wie ein echtes Rechteck verhält.) so wiederholen, bis, EIN_G (x) Wächst durch die Fläche des dunklen "Rechteck", die einen Bereich extrem nahe an 0,1 mal 15 oder 1,5 aufweist. Diese Fläche ist in 0,1 Sekunden überstrichen, so dass die Geschwindigkeit der Fläche geführt wird gefegt ist

oder 15 Quadrateinheiten pro Sekunde, wobei die Höhe der Funktion. Diese Idee ist so wichtig, dass es wiederholt zu werden verdient:

Das Fegen Flächenrate ist gleich der Höhe. Das Preis der Bereich wird unter einer Kurve durch eine Flächenfunktion zu einem gegebenen gefegt x-Wert gleich der Höhe der Kurve an, dass x-Wert.