Der Fundamentalsatz der Analysis

Der Fundamentalsatz der Analysis ist eine der wichtigsten Sätze in der Geschichte der Mathematik. Es besagt, dass, da ein Bereich, Funktion EIN_f dass streicht Fläche unter f (t),

die Rate, mit der Fläche geführt wird, gewobbelt wird auf die Höhe der ursprünglichen Funktion gleich. So, da die Rate, das Derivat, die Ableitung der Flächenfunktion ist gleich der ursprünglichen Funktion:

weil

Sie können auch die obige Gleichung wie folgt schreiben:

Brechen Sie die Riechsalz.

Nun, da die Ableitung von EIN_f (x) ist f (x), EIN_f (x) Ist per Definition ein antiderivative von f (x). Prüfen Sie, wie das funktioniert, indem eine einfache Funktion suchen, f (t) = 10, und seine Umgebung Funktion,

Nach dem Fundamentalsatz,

So EIN_f muss ein antiderivative von 10- in anderen Worten werden, EIN_f ist eine Funktion, deren Ableitung ist 10. Da jede Funktion der Form 10x + C, woher C eine Zahl, ein Derivat von 10 hat, ist die Stammfunktion von 10 10x + C. Die besondere Nummer C hängt von der Wahl der s, der Punkt, an dem Fegen Bereich starten. Für eine bestimmte Auswahl von s, die Flächenfunktion die eine Funktion (aus allen Funktionen in der Familie von Kurven sein 10x + C), Die durchquert die x-Achse an s. Herausfinden C, stellen Sie den antiderivative gleich Null ist, stecken Sie den Wert von s in x, und lösen für C.

Für diese Funktion mit einem antiderivative von 10x + C, wenn Sie beginnen, Fegen Bereich auf, sagen wir,

oder nur 10x. (Beachten Sie, dass C nicht unbedingt gleich s. In der Tat, es in der Regel nicht

Wann s = 0 ist, C oft ist auch gleich 0 ist, aber nicht für alle Funktionen.)

Die Figur zeigt, warum EIN_f (x) = 10x ist der richtige Bereich Funktion, wenn Sie Fegen Bereich bei Null beginnen.

In dem oberen Diagramm in der Figur ist die Fläche unter der Kurve von 0 bis 3 30, und das ist gegeben durch

Und man kann sehen, dass der Bereich von 0 bis 5 50 ist, was mit der Tatsache, stimmt zu, dass

Wenn stattdessen beginnen Kehren Sie out-Bereich auf s = -2 Und definieren einen neuen Bereich Funktion,

damit C gleich 20 und B_f (x) Beträgt somit 10x + 20. Dieser Bereich Funktion ist 20 mehr als EIN_f (x), Die beginnt bei s = 0, denn wenn Sie beginnen bei s = -2, Haben Sie bereits eine Fläche von 20 durch die Zeit, die Sie auf Null bekommen gefegt. Die Figur zeigt, warum B_f (3) mehr als 20 EIN_f (3).

Und wenn Sie beginnen Fegen Bereich bei

und die Flächenfunktion ist

Diese Funktion ist 30 Weniger als EIN_f (x), Da mit C_f (x), Verlieren Sie die 3-mal-10 Rechteck zwischen 0 und 3, dass EIN_f (x) Hat (die untere Grafik in der Abbildung) zu sehen.

Eine Fläche Funktion ist ein antiderivative. Die überstrichene Fläche unter der horizontalen Linie f (t) = 10 aus irgendeiner Anzahl s nach x, wird durch eine Stammfunktion von 10, nämlich 10 gegebenenx + C, wobei der Wert von C hängt davon ab, wo Sie Fegen Bereich starten.

Nun nehmen Sie einen Blick auf einige grafische Darstellungen von EIN_f (x), B_f (x), und C_f (x).

(Beachten Sie, dass die vorhergehende Figur zeigt nicht die Graphen von EIN_f (x), B_f (x), und C_f (x). Sie sehen drei Diagramme der horizontalen Linienfunktion, f (t) = 10- und Sie sehen die Bereiche gefegt unter f (t) durch EIN_f (x), B_f (x), und C_f (x), Aber Sie sehen nicht wirklich die Graphen dieser drei Bereichsfunktionen.)

Das zweite Bild zeigt die Graphen der Gleichungen EIN_f (x), B_f (x), und C_f (x), Die Sie vorher ausgearbeitet: EIN_f (x) = 10x, B_f (x) = 10x + 20 und C_f (x) = 10x - 30. (Wie Sie sehen können, alle drei sind einfach, y = mx + b Linien). Die y-Werte dieser drei Funktionen geben Sie die Bereiche gefegt unter f (t) = 10, die Sie in der ersten Figur zu sehen. Man beachte, dass der Drei x-fängt man in der zweiten Figur zu sehen sind die drei x-Werte in der ersten Figur in dem Fegen Bereich beginnt.

Sie arbeiten bereits darauf hin, dass EIN_f (3) = 30, und dass EIN_f (5) = 50. Sie können die Bereiche 30 und 50 in der oberen Diagramm der ersten Figur zu sehen. In der zweiten Figur, sehen Sie, dass diese Ergebnisse auf EIN_f an den Punkten (3, 30) und (5, 50). Sie sahen auch in der ersten Figur, B_f (3) betrug 20 mehr als EIN_f (3) - Sie dieses Ergebnis in der zweiten Figur zu sehen, wo (3, 50) auf B_f 20 ist höher als (3, 30) an EIN_f . Schließlich sah man in der ersten Figur, C_f (x) 30 weniger als EIN_f (x). Die zweite Figur zeigt, dass in einer anderen Weise: zu jeder x-Wert, der C_f Linie 30 Einheiten unter dem EIN_f Linie.

Einige Beobachtungen. Sie wissen bereits aus dem Fundamentalsatz, dass

(Und das gleiche gilt für B_f (x) und C_f (x)). Das war zuvor in Bezug auf Raten erklärt: Für EIN_f, B_f, und C_f, die Rate der Fläche unter gefegt werden f (t) = 10 ist gleich 10. Die zweite Figur zeigt auch, dass

(Und das gleiche gilt für B_f, und C_f), Aber hier gibt es die Ableitung als Steigung zu sehen. Die Pisten, natürlich, der alle drei Linien 10. Schließlich gleich zu beachten, dass die drei Linien in der zweiten Figur voneinander unterscheiden sich nur durch eine vertikale Verschiebung. Diese drei Linien (und die Unendlichkeit aller anderen vertikal setzten Linien) sind alle Mitglieder der Klasse von Funktionen, 10x + C, die Familie von Stammfunktionen von f (x) = 10.